复变函数的映射.ppt

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1、从第二章开始，利用分析的方法，即通过微分、积分和级数分别探讨了解析函数的性质和应用.在这一章中，我们将从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论.第七章共形映射在第一章中已经介绍过，一个复变函数在几何上可以看作把z平面上的一个点集变到w平面上的一个点集的映射(或变换).对解析函数来说，由它所构成的变换（简称解析变换）还需作进一步的研究.共形映射之所以重要，原因在于它能把在比较复杂区域上所讨论的问题转到比较简单区域上进行讨论.因此，在解决诸如流体力学、弹性力学、电磁学等实际问题中，发挥了重要的作用.在这一章中，我们先分析解析函数所构成映射的特性，引出

2、共形映射这一重要概念.然后进一步研究分式线性函数和几个初等函数所构成的共形映射.1、解析变换的保域性2、解析变换的保角性—导数的几何意义3、单叶解析变换的共形性§1解析变换的特性1、解析变换的保域性要探讨解析变换的几何特性，首先要弄清楚复平面上的一个点集(曲线或区域)与它的像集之间的对应关系.其次，要证明中任意两点均可以用一条完全含于的折线联结起来.由于是区域，可在内取一条联结的折线于是，因f(z)不为常数就是联结的并且完全含于的一条曲线.从而，仿照柯西积分定理的古萨证明的第三步，可以找到一条联结内接于且完全含于的折线,于是是连通的.—符合定理条件

3、的解析函数w=f(z)将z0的一个充分小邻域变成w0=f(z0)的一个曲边邻域.如果规定:yxC..正向:t增大的方向;2、解析变换的保角性—导数的几何意义在数学分析中我们知道，导数用来刻画因变量相对于自变量的变化情况，且具有相当明显的几何意义.那么，一个复变函数的导数将会刻画怎样的关系呢？又有什么样的几何意义呢？当p方向与C一致.C..yxC.yx之间的夹角..C.yxvu.或vu.——导数辐角的几何意义.说明:转动角的大小与方向跟曲线C的形状无关.映射w=f(z)具有转动角的不变性...则有结论:的夹角方向不变的性质,此性质称为保角性.在其大小

4、和方向上都等同于经过Cvuyx....Cvuyx....因此:方向无关.所以这种映射又具有伸缩率的不变性.解反之放大.通过以上分析,有解对于复平面上的任意一点D，有（极限存在）定义7.1'对于定义在D内的变换w=f(z),如果它在D内任意一点具有保角性和伸缩率不变性，则称w=f(z)是第一类保角变换；如果它在D内任意一点保持曲线的交角的大小不变但方向相反和伸缩率不变，则称w=f(z)是第二类保角变换.需要特别指出的是，是必要的，否则保角性将不成立.解其导数为3、单叶解析变换的共形性