§13..2一致收敛性质.ppt

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1、§13.2一致收敛函数列与函数项级数的性质一、一致收敛函数列的性质二、一致收敛函数项级数的性质2021/8/61定理13.8即证因为一、一致收敛函数列的性质1.极限交换定理2021/8/62特别2021/8/63证毕。2021/8/64定理指出:在一致收敛的条件下,中关于独立变量x与n的极限可以交换次序.上一致收敛,且存在,则有2021/8/65特别，如果即f(x)在x0也连续。即有：定理13.9若2.连续性2021/8/66定理13.9的逆否命题：若fn(x)的极限函数f(x)在I上不连续，则I如在x=1不连续，I所以2021/8/67定理13.9若推论2021/8/

2、68定理13.10若证即极限号与积分号可交换。由连续性，f(x)在[a,b]上也连续，故fn,f均可积。由3.可积性2021/8/69证毕。注：定理中的连续条件改为可积，结论仍然成立.2021/8/610注：定理13.9、13.10的条件只是充分的：即定理13.9、13.10的条件不满足，但结论也可能成立。2021/8/611(其图象如图13－6所示).显然是上的连续函数列,且对任意,例1设函数2021/8/612,因此,上一致收敛于0的充要条件是.2021/8/613当且仅当但定理10的结论成立。不收敛于定理10的结论不成立。说明定理10的条件是充分但不必要的。当且仅

3、当2021/8/614定理13.11（可微性）设{fn(x)}为定义在[a,b]上的函数列，若即极限号与求导符号可交换。注：在本定理条件下，可推出)).(lim)(lim],[}{],[}{}{],[0xfdxdxfdxdbafbaffbaxnnnnnnn¥®¥®=¢Î一致收敛，则上在上有连续的导数，且在的每一项的收敛点，为(4.可微性2021/8/615证A()).(lim)(limxfdxdxfdxdnnnn¥®¥®=即2021/8/616在本定理条件下，推出。证：2021/8/617由即证毕。2021/8/618定理11的条件只是充分的：例2即定理11的条件不满足

4、，但结论也可能成立。2021/8/619定理13.12(连续性）二、一致收敛函数项级数的性质2021/8/620例3(1)证明：(2)解：所以从而，2021/8/621例4.（内闭一致收敛）证明：2021/8/622定理13.13(逐项求积）基本要求:一致收敛+可积可逐项积分定理13.13的连续条件改为可积，结论仍然成立.注：2021/8/623例5解:2021/8/624定理13.14(逐项求导）2021/8/625注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数逐项求导后得级数所以原级数不可以逐项求导．2021/8/626例6解：则由M判别法知，2021/8/6

5、27例7设证明函数项级数在上一致收敛,并讨论和函数在上的连续性、可积性与可微性.证:对每一个n,易见为上的增函数,故有2021/8/628因此级数在上一致收敛.由于每一个在上连续,根据定理13.12与定理13.13知的和函数在上连续且可积.又由2021/8/629故在上一致收敛.由定理13.14,得知在[0,1]上可微.2021/8/630例8.证明：⒈⒉所以不能直接用定理13.14.2021/8/631内闭一致收敛其他阶导数的连续性类似可证.2021/8/632作业P44.1(1)(2)5682021/8/633