现代通信原理技术第2章.pdf

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1、第2章随机过程2.1随机过程的基本概念和统计特性　2.2平稳随机过程2.3高斯随机过程2.4随机过程通过线性系统2.5窄带随机过程2.6正弦波加窄带高斯噪声返回主目录第2章随机过程2.1随机过程的基本概念和统计特性2.1.1随机过程自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类。一类是其变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律，用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述，这类过程称为确定性过程。例如，电容器通过电阻放电时，电容两端的电位差随时间的变化就是一个确定性函数。而另一类过程没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律，用

2、数学语言来说，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述，这类过程称为随机过程。下面我们给出一个例子：设有n台性能完全相同的接收机。我们在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形（这也可以理解为对一台接收机在一段时间内持续地进行n次观测）。测试结果将表明，尽管设备和测试条件相同，记录的n条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。　由此我们给随机过程下一个更为严格的定义：设S(k=1,k2,…)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作x(t)，所有可能出现

3、的结果的总体{x(t),i1x(t)，…,x(t)，…}就构成一随机过程，记作ξ(t)。简言之，2n无穷多个样本函数的总体叫做随机过程，如图2-1所示。　样本空间S1x(t)S12Sntx(t)2t(t)x(t)nttk图2-1样本函数的总体显然，上例中接收机的输出噪声波形也可用图2-1表示。我们把对接收机输出噪声波形的观测可看作是进行一次随机试验，每次试验之后，ξ(t)取图2-1所示的样本空间中的某一样本函数，至于是空间中哪一个样本，在进行观测前是无法预知的，这正是随机过程随机性的具体表现。其基本特征体现在两个方面：其一，它是一个时间函数；其二，在固定的某一观察时刻t，全

4、体样本在t时刻的取值ξ(t)是一个不含t111变化的随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。下面将会看到，在研究随机过程时正是利用了这两个特点。2.1.2随机过程的统计特性随机过程的两重性使我们可以用与描述随机变量相似的方法，来描述它的统计特性。　设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t∈T，1其取值ξ(t)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可1以用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量ξ(t)1小于或等于某一数值x1的概率P［ξ(t)≤x］，简记为F(x,1111t)，即F(x,t)=P

5、［ξ(t)≤x］(2.1-1)111111　　式(2.1-1)称为随机过程ξ(t)的一维分布函数。如果F(x,11t)对x的偏导数存在，即有11F(x,t)111f(x,t)111x1则称f(x,t)为ξ(t)的一维概率密度函数。显然，随机过程111的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。　任给两个时刻t,t∈T，则随机变量ξ(t)和ξ(t)构成一个1212二元随机变量{ξ(t),ξ(t)}，称F(x,x;t,t)=P｛ξ(t)≤x,122121211ξ(t

6、)≤x｝(2.1-3)22为随机过程ξ(t)的二维分布函数。如果存在2F(x,x;tt)2121,2f(x,x;tt)1212xx12则称f2(x,x;t,t)为ξ(t)的二维概率密度函数。　1212同理，任给t,t,…,t∈T,则ξ(t)的n维分布函数被定义12n为Fn(x,x,…,x;t,t,…,t)=P｛ξ(t)≤x1,ξ(t)≤x,…,12n12n122ξ(t)≤x｝nn2F(x,x...;tt...,t)n121,2nf(x,x...,x;t,t...,t)12n12nxx...x12n则称f(x,x,…,x;t,t,…,t)为ξ(t)的n维概率

7、密度函数。显n12n12n然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。　2.1.3随机过程的数字特征　分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。　1.数学期望　设随机过程ξ(t)在任意给定时刻t1的取值ξ(t)是一个随1机变量，其概率密度函数为f(x,t)，则ξ(t)的数学期望为1