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1、楚水实验学校高二数学备课组空间向量（期末复习）一、空间向量及其线性运算空间向量的加法、数乘运算满足下列运算律：(1)加法交换律：a+b=b+a；(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；(3)数乘分配律：λ(a+b)=λa+λb。空间向量基础知识空间向量：是指具有大小和方向的量叫做向量．空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量二、共线向量与共面向量定理1空间向量a、b平行的充分必要条件是存在实数λ，使a=λb。(b≠0)定理2如果向量a、b不共线，则向量p与a、
2、b共面的充分必要条件是存在实数对x,y，使p=xa+yb.推论1a,b,c共面存在不全为零的实数x，y，z，使xa+yb+zc=0。推论2若a,b,c不共面，且有实数x，y，z，使xa+yb+zc=0，则x=y=z=0。定理3如果向量a,b,c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc(共面向量定理）(共线向量定理）(空间向量基本定理）三、空间向量的数量积运算定义实数
3、a
4、
5、b
6、cos叫做向量a,b的数量积，记做a·b，即a·b=
7、a
8、
9、b
10、co
11、s．空间向量的性质：（1）a·e=
12、a
13、cos(e为单位向量)；（2）a⊥ba·b=0(a,b为非零向量)；（3）当a、b同向时，a·b=
14、a
15、
16、b
17、，当a、b反向时,a·b=-
18、a
19、
20、b
21、，特别地a·a=
22、a
23、2；（4）向量的数量积满足下列运算律：λ(a·b)=a·(λb)a·b=b·a；a·(b+c)=a·b+a·c（5）
24、a·b
25、≤
26、a
27、·
28、b
29、．四、空间直角坐标系与空间向量的坐标运算1、空间直角坐标系从空间某一定点O引三条两两垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐
30、标系O-xyz.点O为坐标原点，x轴，y轴，z轴叫坐标轴，每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。xyzo右手坐标系在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k,则对于空间任一向量a，总存在唯一的有序数组（x，y，z）使a=xi+yj+zk,则有序数组（x,y,z)叫做向量a在空间坐标系O-xyz中的坐标记为a=（x，y，z）.2、向量的坐标表示对于空间任意一点A（x，y，z），向量OA的坐标为点A的坐标，即OA=（x，y，z）3、向量的运
31、算和性质的坐标表示表示（1）设则（3）设则（2）两点间距离公式（4）模长公式（5）夹角公式（6）平行的条件：对应坐标成比例垂直的条件：x1x2+y1y2+z1z2=0五、直线的方向向量与平面的法向量及其应用空间直线的方向向量：ee0e直线l上的向量(≠)以及与共线的非零向量叫做直线l的方向向量。平面的法向量：如果表示非零向量的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量垂直于平面α，记作⊥α.此时，我们把向量叫做平面α的法向量.eene六、空间角及距离公式线线线面面面求夹角：位置关系判断：平行垂直l1与l
32、2l1与α1α1与α2n2e2e1设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为，，两个平面α,β的法向量分别为,,则：n1e1e2∥e1e2⊥e1n1⊥n1n2⊥e1n1∥n1n2∥4.已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若的坐标为.2.已知与平行，则a+b=_____3.与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为（）A(1,7,5)B(1,-7,5)C(-1,-7,5)D(1,-7,-6)课堂基础训练1.已知点A（3，-5，7），点B（1，-4，2），则的坐标是_
33、______，AB中点坐标是______=____-7C8.设
34、m
35、＝1，
36、n
37、＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则＝________7.若的夹角为.6、已知=（2，-1，3），=（-4，2，x），若与夹角是钝角，则x取值范围是_____5.已知向量，，a与b的夹角为____（2）若求OA与BC夹角的余弦值．例题1．如图，在空间四边形OABC中，E、F分别是OC与AB的中点，（1）求证：ABCEFO向量法8654√2BACDB1A1C1D1例2.如图，平行六面体ABCD-A1B
38、1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,(1)求证；C1C⊥BD；CDCC1请给出证明.(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？证:(2)连接AC,因ABCD是菱形,所以,BD⊥AC.所以BD⊥平面ACC1A所以,BD⊥A1C.所以,A1C⊥平面C1BDCA1⊥C1D.CA1·C1D=0(CB+CD+CC1)·(CD-CC1)=0由(1),BD⊥CC1,(CB+CD+CC1)·(CD-CC1)=0BA
