线性代数课件 线代复习.ppt

《线性代数课件 线代复习.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、矩阵1.矩阵的定义一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵2.矩阵的基本运算矩阵相等:同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法、数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘：乘法满足矩阵乘法不满足：交换律、消去律A是n阶方阵，方阵的幂：方阵的多项式：并且（m,k为正整数）方阵的行列式：三种基本计算方法满足:解转置矩阵:一些特殊的矩阵:把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.满足：对称矩阵和反对称矩阵：伴随矩阵：若若若3.逆矩阵定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得则称矩阵A

2、是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.判定定理:n阶方阵A可逆且推论：设A、B为同阶方阵，若则A、B都可逆，且满足规律：逆矩阵求法：（1）伴随矩阵法（2）推论法（3）初等变换法分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．4.分块矩阵5.初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．矩阵的等价：如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价。记作初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.与矩阵的

3、相似、合同相互比较定理：左乘变行，右乘变列解矩阵方程的初等变换法(A、B可逆)矩阵方程解Ⅰ、秩（A）：A的不等于0的子式的最高阶数。Ⅱ、秩的基本关系式：Ⅲ、关于秩的重要结论：6、矩阵的秩Ⅳ、秩的求法：1）初等变法：2）若P可逆，则4)当时，5)有r阶子式不为0所有r+1阶子式全为0例题2设A、B都是n阶方阵，则e解解：R(A)=2例5解一.向量组的线性相关性1.向量间的线性运算：加法、数乘。2.线性组合、线性表示(1)判断向量可由向量组线性表示的常用方法方法1：向量组的线性相关性是否非零无要求关键：存在某组使上式成立，(2)在判断或证明中，常用到

4、的两个重要结论结论1：向量可由向量组线性表示结论2：若向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量必能由向量组线性表示，且表示式唯一。方法2：证下列非齐次线性方程组有解即：利用矩阵的初等行变换行最简形矩阵3.线性相关性的判别方法(1)一般方法：设数使得成立求系数是有非零解还是只有零解的问题。(2)利用向量组的秩判断：设向量组的秩为当时，线性相关；当时，线性无关。(3)利用常用结论：1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。2个非零向量线性相关对应分量成比例4.最大无关组的选取或证明(1)初等变换法（最常用）将列向量组写成矩阵初等行变换行阶梯或行最简形

5、矩阵的一个极大无关组，例6：求向量组并把其余向量用该极大无关组线性表示。n＋1个n维向量线性相关。部分相关整体相关；整体无关部分无关。短的无关，长的也无关；长的相关，短的也相关。解：是一个极大无关组并且考虑：还有那些极大无关组？初等行变换二.矩阵的秩、向量组的秩的求法初等变换后，看非零行的行数。三.关于向量组的秩、矩阵的秩的证明关于向量组的秩的两个重要定理：（1）若向量组可以由向量组线性表示，则那么线性相关。(3)(三秩相等)矩阵A的秩＝A的行秩＝A的列秩。（2）若向量组可以由向量组线性表示，并且１．向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算

6、封闭；由向量组生成的向量空间．２．子空间的概念．３．向量空间的基，维数和坐标；求向量空间基和维数的方法（生成子空间）；求向量在给定基底下的坐标。四.向量空间五.正交化与正交矩阵1.正交化、单位化2.正交矩阵的n个列（行）向量组为单位正交向量组也是正交矩阵是正交矩阵，则也是正交矩阵定理1设有非齐次线性方程组(1)定理2设有齐次线性方程组（2）设r(A)=r,则线性方程组的解法与解的结构定理1设有齐次线性方程组（2）方程组的通解、基础解系定理2设有非齐次线性方程组（1）例7、解1）是；2）3）由（2）即得条件1、特征值的求法2、特征向量的求法特征值和

7、特征向量3、对角化看清要求的是可逆矩阵还是正交矩阵。方阵与对角矩阵相似的条件:充要条件:充分条件:①有n个不同特征值;或②A为实对称矩阵填空题１．已知三阶方阵Ａ的三个特征值为１，－２，３．则

8、A

9、＝（），Ａ－１的特征值为（），ＡＴ的特征值为（），Ａ２＋２Ａ＋Ｅ的特征值为（）．２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（）．３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（）．－６１，-1/2,1/3１，－２，３．4,1,1600,14．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ都不可逆，则Ａ的特征值为（）．５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２，则｜Ａ－５

10、Ｅ｜＝（）。1,-1,3-72例8（1）求设相似于（1）由性质（2）（2）解例9二次型1、利用正交变换化为标准形的过程；2、正定矩阵的判