王家楣主编流体力学4-6章习题选解

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1、第4章习题选解4-8如图所示，摩托艇在河中以9m/s的速度(相对岸边)逆流而上。河中水流速度为6.5m/s。该艇用的喷水推进装置由船首进水，船尾排水。若射流相对艇的速度为18m/s，流量3力0.15m/s。问产生的推力为多大?解：将坐标系固联于艇上，河水相对艇的流速即为入口速度，v=9+6.5=15.5m/s出口速度为V=18m/s动量增量ρQ(V-v)即为推力F的大小即F=ρQ(V-v)9800×0.15×(18-15.5)=3675N4-10鱼雷在水下5m深处以50km/h的速度运动，据相对性原理，可认为鱼雷不动，流体从无穷远处以流速50krn/

2、h流过鱼雷。(1)若流体流过鱼雷表面时，其最大速度为无穷远处速度的1.5倍(如图所示的A点处)，求鱼雷A点处的压力。2(2)设水温为15°C，产生空泡的压力为2.33kN/m，求鱼雷产生空泡时的速度。解：(1)该流场为无旋场，就无穷远处和A点列出拉格朗日积分方程22ρvρvp+∞=p+A∞A22水下5m深处的静压力p∞=γh=9800×5=49000Pa22v∞=50km/h=13.89m/s，v∞=192.9(m/s)由拉格朗日积分方程得pA−p∞=1-vA2，()2ρvv∞∞22vA2ρv∞由此得pA=p∞+[1-()]v2∞2=49000[1-

3、1.5]+1000×192.9/2=-71562.5Pa绝对压力pAab=pA+pa=-71562.5+101300=29737Pa2(2)当A点绝对压力pAab=2.33kN/m=2330Pa时，求vA由pA−p∞=1-vA2()2ρvv∞∞2得vA2=1-pAab−p∞ab()2vρv∞∞2pAab-p∞ab=2330-(49000+101300)=-147970Pa2ρv∞=1000×192.9/2=96450Pa2vA2代入上式()=(1+147970/96450)=2.5342v∞vA=1.592v∞vA=1.592v∞=1.592×13.

4、89＝22.11m/s=79.6km/h4-11如图所示的圆柱形闸门，图(a)为关闭状态，图(b)为开启状态，关闭时上游水位升高o.6m。计算作用在闸门上水平方向的分力，并比较两垂直分力的大小。两种情况下的合力都通过圆心吗?提示：(a)可用静力学解(b)需用动力学解第5章习题选解5-2已知速度场vx=2y+3z，vy=2z+3x，vz=2x+3y，求涡线方程。1∂vy∂vz11解：ωx＝-(-)＝-(2-3)=2∂z∂y221∂vz∂vx11ωy＝-(-)＝-(2-3)=2∂x∂z221∂vx∂vy11ωz＝-(-)=-(2-3)=2∂y∂x22涡线

5、微分方程dxdydz＝＝ωωωxyz1将ωx=ωy=ωz=代入上式得2dx=dy=dz积分上式得x=y+C1=z+C2112225-4已知速度场为vx=-y，vy=x，求沿周线x+y=3的速kk度环量。解一：ωx=ωy=0，1∂vx∂vy1111ωz＝-(-)=-(--)=2∂y∂x2kkk2218∫r=3vds=2∫∫πr2ωndσ=kπrr=3=kπx=Rcosθdx=−Rsinθdθ解二：y=Rsinθdy=Rcosθdθ1Rv=−y=−sinθxkk1Rv=x=cosθykk22πR22Γ=vds=vdx+v

6、dy=(sinθ+sinθ)dθ∫r=3∫Rxy∫0k22R2π2πR18∫dθ==πk0kk5-8原静止不可压缩无界流场中，在位于z＝0的平面上放置强度为Γ的Π形涡，如图所示。求点(0，a)、点(0，-a)和点(0，0)处的诱导速度。Γ解：v=(cosα+cosα)12πR对于A(0，a)、B(0，-a)两点，R=2a，α1=90º，α2=0ºΓooΓ代入上式，v=v=(cos90+cos0)=AB4π(2a)8πa对于O(0，0)点，上下两条涡线都在此处产生诱导速度R=a，α1=90º，α2=0ºΓooΓv=2(cos90+cos0)=O4πa2

7、πa5-13设有水面旋涡由中心的涡核及其外围的无旋运动两部分组成。已知涡核内的速度分布为vθ＝10r，外部的无旋运动的速度分布为vθ＝0.9/r。求：(1)涡核的半径；(2)旋涡中心水面的下陷深度。解：(1)在r=R的涡核上，vθ1＝vθ2，即100.9/R，因此得涡核的半径为R＝0.3m(2)根据组合涡的压力分布，41R2p−ρω−ρgz(r≥R)a2r2p=2p−ρω2(R2−r)−ρgz(r≤R)a2当p=p时，就可以得到自由面的坐标za22ωRR2−()(r≥R)2grz=222ωRr−(2−)(r≤R)22gR旋

8、涡中心处，r=0，代入上式2222ωRωRz=−(2−0)=−2gg2210×0.3=−≈−0.92m9.8