高等数学课件 不定积分.pdf

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1、一、原函数与不定积分的概念定义：如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即xI，都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)或f(x)dx在区间I内原函数.例sinxcosxsinx是cosx的原函数.1lnx(x0)x1lnx是在区间(0,)内的原函数.x原函数存在定理：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例sinxcosxsinxCcosx(2)若不唯一它们之间有什么联系？（为任意常C数）关于原函数的说明：（1）若F(x)f(x)，则对于任意常数C，F(x

2、)C都是f(x)的原函数.（2）若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则F(x)G(x)C（为任意常数）C证F(x)G(x)F(x)G(x)f(x)f(x)0F(x)G(x)C（为任意常C数）不定积分的定义：在区间I内，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I内的不定积分，记为f(x)dx.f(被积函数x)dx被积表达式F(x)C任意常数积分号积分变量5例1求xdx.66x55x解x,xdxC.661例2求dx.21x1解arctanx,21x1dxarcta

3、nxC.21x例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为yf(x),dy根据题意知2x,dx即f(x)是2x的一个原函数.222xdxxC,f(x)xC,由曲线通过点（1，2）C1,2所求曲线方程为yx1.函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知df(x)dxf(x),d[f(x)dx]f(x)dx,dxF(x)dxF(x)C,dF(x)F(x)C.结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的

4、.二、基本积分表x11x实例xxdxC.11(1)启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.基(1)kdxkxC(k是常数);1本x(2)xdxC(1);积1分dx(3)lnxC;表xdx说明：x0,lnxC,x11x0,[ln(x)](x),xxdxdxln(x)C,ln

5、x

6、C,xxdx简写为lnxC.x1(4)2dxarctanxC;1x1(5)dxarcs

7、inxC;21x(6)cosxdxsinxC;(7)sinxdxcosxC;dx2(8)2secxdxtanxC;cosxdx2(9)2cscxdxcotxC;sinx(10)secxtanxdxsecxC;(11)cscxcotxdxcscxC;xx(12)edxeC;xxa(13)adxC;lna(14)sinhxdxcoshxC;(15)coshxdxsinhxC;2例4求积分xxdx.522解xxdxxdx1x根据积分公式（2）xdxC15127x2Cx

8、2C.5712三、不定积分的性质(1)[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx;证f(x)dxg(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)g(x).等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）(2)kf(x)dxkf(x)dx.（k是常数，k0)32例5求积分()dx.122x1x32解()dx221x1x113dx2dx221x1x3arctanx2arcsinxC21xx例6求积分dx.2x(1x)221xxx(1x)解2dx2dxx

9、(1x)x(1x)11112dx2dxdx1xx1xxarctanxlnxC.212x例7求积分dx.22x(1x)22212x1xx解22dx22dxx(1x)x(1x)112dx2dxx1x1arctanxC.x1例8求积分dx.1cos2x11解dx2dx1cos2x12cosx11112dxtanxC.2cosx2说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.例9已知一曲线yf(x)在点(x,f(x))处的