Hilbert空间中的g-Besselian框架和拟g-Riesz基-论文.pdf

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1、．黝数学物理学报http：／／attains．wipm．ac．cnHilbert空间中的g-Besselian框架和拟g-Riesz基丁明玲朱玉灿肖祥春温永仙(福建农林大学计算机与信息学院福州350002；。福州大学数学与计算机科学学院福州350108)摘要：在Itilbert空间中，g．框架作为框架的推广，具有许多类似于框架的性质，但并非所有的结论都类似．比如Besselian框架等价于拟Riesz基，但g-Besselian框架与拟g—Riesz基不等价．该文刻画了g—Besselian框架与拟g—Riesz基

2、在一定条件下的等价关系；得到g—Besselian框架与拟g-Riesz基的对偶性结论；并在ttilbert空间中讨沦g—Besselian框架与拟g—Riesz基的稳定性．关键词：g一框架；g-Besselian框架；拟g-Riesz基；对偶g一框架；稳定性．MR(2000)主题分类：42C99中图分类号：0177．1文献标识码：A文章编号：1003—3998(2014)04—948—121引言Hilbert空间中的框架概念是由Duflin和schaefrer[J在1952年研究非调和Fourier级数时正式提出

3、的．1986年，框架再次被Daubechies，Grossmann和Meyer[。]关注并深入研究．作为标准正交基的推广，框架具有优于标准正交基的重要属性，Hilbert空间中的任何元素不仅可以用框架元素的线性组合表示，而且表达式是非唯一的．框架还有其他好的性质．目前框架被广泛应用于信号处理、数据压缩、采样理论及许多数学领域中．关f框架理论的介绍可参见文献_3_近年来，许多学者对框架与Riesz基(标准正交基的任意同构映射)的关系感兴趣．在Hilbert空间中，Riesz基等价于无冗框架(参见文献『41)．Ries

4、z基在信号分析、语音进程和语音数据压缩[5-r]等许多应用领域中成为比标准正交基更强大的理论工具．更一般地，去掉有限个元素后是Riesz基的一类框架即拟Riesz基也被关注和研究．在文献『81中，Holub对拟Riesz基进行研究并给出此类框架的等价刻画．本文采用如下记号：日为一个复Hilbert空间，是复数集，Ⅳ是自然数集．定义1．1假设{)是H的一个序列，称{}为日的框架，如果存在正数，B，使得下列式子成立AIIIPl∑I(／，)BII／II。V厂∈H．(1．1)r=1收稿日期：2012—10—25；修订日期：

5、2013—11—30E—maihdmingling@163．com；zhuyucan(．~fzuedu．cn；xxc424@fzu．edu．cn；wen9681@sinaCOIIl基金项目：国家自然科学基金(31171448)、国家天元基金(11226099)、福建省自然科学基金(2012101005，2014J01007)、福建省教育厅科技资助项目(JA11100)、福州大学科技发展基金(2012一XQ一29)和福州大学科研启动基金(022410)资助N0．4丁明玲等：Hilbert空间中的g-Besselian

6、框架和拟g-Riesz基949和B分别称为框架的下界、上界．如果(1．1)式的右边不等式成立，那么x)1称为日的一个Bessel序列，界为B．定义1．2一个序列{z)1cH称为H的一个Riesz基，如果H=五{)1且存在正数和使得薹-nllnll2B一n，V和B分别称为Riesz基的下界、上界．定义1．3一个框架{)1H称为H的一个拟Riesz基，如果存在一个有限子集CN使得{z)是H的一个Riesz基．定义1．4一个框架{)oo：1cH称为日的一个Besselian框架，如果∑anX收敛r=1意味着{n}】∈虽然

7、框架与Riesz基在许多应用中扮演重要的角色，但实际中仍有许多的应用无法通过它们建模，囚此一些学者提出了更一般的框架概念如伪逆框架[引、子空间框架、斜框架㈣等等．这些推广的框架有助于实践中的应用．在文献f121中，孙文昌将上述各种推广的框架作统一处理，引入了g一框架的概念，并且考虑g一框架的一些性质(参见文献『131)．最近，g一框架被广泛应用于许多应用领域如量子信息[14_、数据网络、结构量子信道_l5]和有限框架的冗余性的量化[16J中．进一步，g一框架、g-Riesz基、g-Riesz框架、g一框架序列、g-

8、Besselian框架与拟g-Riesz基等被广泛研究(参见文献f17—25])．这些Hilbert中的g一框架具有许多类似于框架的性质，但并非所有的性质都类似．比如文献『8]中的定理2．5说明了Hilbert空间中的Besselian框架与拟Riesz基等价．文献f241的定理2．6得到拟g-Riesz基必定是g-Besselian框架．但文献『26]中的