简洁更需严谨——一道题的错解引发的思考-论文.pdf

《简洁更需严谨——一道题的错解引发的思考-论文.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、中学数学杂志2014年第7期简洁更需严谨一道题的错解引发的思考江苏省南京市大厂高级中学210044仝建1问题提出琐，却可以避免检验，也可锻炼解题者处理带字母的运题目1已知定义域为R的函数)=算能力．具体过程如下：因为-厂()是定义域为R的奇函数，所以n≥0，且是奇函数，求。，6的值．对于任意∈R，都有厂(一)=一)，从而，()+文[1]给出了如下的解答．一)：+：0，整理得：(2b一口)2h方法1：因为，()是定义域为R的奇函数，所以b—．．—1+(2ab一4)2+(26—0)=0，对于任意的∈R成立．—=0_1)一川_0’一篇，r2b一，z=0所以{2。6—4：

2、0，又因为口≥0，所以得6=1,a=2·联立两式解得b=1，a=2．’3类似错误的延续方法2：因为)是定义域为R的奇函数，所以3．1一次随堂听课中的问题在一次推门听课中，上课教师这样评价了学生的f(o_0，所以㈣．从而=．又十ⅡZ。‘+a解题过程．f(-X)=一f(X一，整理一题目2已知)=+0+3一9，若，()在=一3时取得极值，求。的值．0)(1—2)=0，这个等式对一切∈R成立，学生说，先求导厂()=3x+2ax+3，因为厂()在所以有2一Ⅱ=0，且p0=2．=一3时取得极值，所以厂(一3)=0，即30+6a=0．从评析文[1]指出方法1直接利用0)=0一而

3、得口=一5．教师对学生的回答评价是：“很好，很简1)=一1)，得到方程组来进行求解，简化了计算．但笔洁．”然后就继续处理另一个问题了．者认为，方法1看似简洁，实际上极不严谨．评析由于‘)在=一3时取得极值”是2错误分析与纠正‘(一3)=0”充分不必要条件，因此上述解答，也未结从，()是定义域为R的奇函数，当然能得到-厂(0)束．还需要检验在=一3左右的导数值是否异号．此题=0一1)=一1)，但反过来，若，(0)=0一1)=一学生所犯的错误与文[1]中对题目l的解法错误的本1)，能得到)是定义域为R的奇函数吗，?显然不质是相同的，但教师的评价，无疑会助长学生处理问题

4、行．‘)是定义域为R的奇函数”是‘0)=0一1)的不严谨．=-f(1)”的充分不必要条件所以若利用方法1求解，3．2教材中的一处商榷还没有结束，需要检验b=1，o=2时)是定义域为教材[2]，[3]中对于椭圆标准方程的推导过程，R的奇函数．过程如下：笔者认为就有不严谨之处．先摘录如下(为了方便说当b=1，0=2时)=}．明，笔者给每个方程加了序号)：以经过椭圆两焦点F．，F：的直线为轴，线段F。F：因为+，(=+；=的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy．设M(，Y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c一2+1—1+2+0一·>0)，那么焦点坐标F，F：分别为

5、(一c，0)和(c，0)．又设到F，，的距离的和为20．所以有一)=一)．从而，()是奇函数．所以b由椭圆的定义，椭圆就是集合P={IlMFl+=1．n=2．lF2I=2a}．至于方法2，同样也需要检验．当然，题目1也可以采用定义法做，这样看似繁因为lMF】I=~／(+c)+Y，IMFI=47J(x—c)+Y，所以值”．若按题目1的错解处理方法，改后的第一个题目就只能得到一个错解，而后一个题目又会出现增解．若将~／(+c)+Y。+~／(—c)+Y=2a．(1)题目2改为“已知函数．厂()=+0++0在=为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得1时有极值10，求

6、。的值”，若按照处理题目2时，那位(+c)+Y=2a一(—c)+y，(2)教师和他的学生们采用的方法，就会导致增解，产生错将这个方程两边平方，得误．对答案的一味追逐，无疑助长解题者偶尔做“对”的(十c)+Y=欣喜，结果对了就行，恕不知，错误就掩盖在正确的结4a一40、／／(—c)+Y+(—c)+Y，(3)果中，下次按同样的方法去解，答案正确与否，就很难整理得口一c=口~／(—c)+Y，(4)说了．上式两边再平方，得其次是对相关数学知识的不求甚解，乃至一知半40—2a2c+C22=解．教什么永远比怎样教更重要，数学教师带着对相关20一2ac+O,2C+a2y数学知识

7、的误解，如何能教好学生．题目1与题目2错，(5)整理得(口一c)+a2y=口(口一c)，(6)解的实质是一样的，即在推理的过程中，把上条件是下两边同除以。(n一c)，得条件的充分不必要条件误认为是充要条件了．最后是严谨性和可接受性的矛盾．编写教材的专+—÷—=1．(7)0。r上。一C‘家学者当然知道，给学生展现的椭圆标准方程的推导之后，教材中通过引入字母b，就给出了椭圆方程过程是欠严谨的，可能是出于对学生可接受性的考虑．的标准形式．但笔者认为，即便如此，也应注明“检验从略”．评析事实上，这样的公式过程并没有结束．方程4．2类似错误的纠正策略(7)与原方程(1)是否

8、同解，并未