具阶段结构的食饵-捕食者模型的稳定性-论文.pdf

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1、第24卷第3期洛阳理工学院学报(自然科学版)V0I．24N0．32014年9月JournalofLuoyangInstituteofScienceandTechn0l0gy(NaralScienceEdition)Sep．2014具阶段结构的食饵．捕食者模型的稳定性卢雪丽，张睿，苗亮英，侯学娥(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州730070)摘要：研究了一类捕食者种群具有阶段结构的食饵．捕食者模型，运用线性化方法分别讨论了该模型及其反应扩散模型非负平衡点的局部渐近稳定性。关键词：食饵捕食者模型；阶段结构；扩散；稳定性DOI：10．3969Li．issn．1674-5043

2、．2014．03．O18中图分类号：O175．26文献标志码：A文章编号：1674-504312014~3．0078．04考虑如下具阶段结构的食饵一捕食者模型⋯：警=pUl-6lUIU2-等=后tbtUKUe+．：训!(1)警：其中，u·(，)、U(，)、U(，)分别表示食饵种群、幼年捕食者种群、成年捕食者种群在时刻的密度。·、分别表示幼年捕食者种群与成年捕食者种群的死亡率。kt、分别表示将食饵种群转化为幼年捕食者种群，幼年捕食者种群转化为成年捕食者种群的转化系数。、b2分别表示成年捕食者种群，幼年捕食者种群的功能反应系数。m表示幼年捕食者种群转化为成年捕食者种群的转

3、化率，是食饵种群的内禀增长率。以上所有参数均为非负常数。系统(1)描述了食饵-捕食者种群在空间分布均匀时的增长规律，当种群增长与空间分布相关时，系统(1)所对应的反应扩散模型为：，一△=一向一，∈Q，>0，一GaG=2，I+一一『72，X∈Qt>0一△=一，X∈Q，>0(2)a，=a：3：0，∈aQ，>0(，0)=。()≥o，i=1，2，3，∈Q这里，Q∈R”是一个具有光滑边界aQ的有界区域，}1是边界Q的单位外法向量，正常数d，、d2、3是对应与食饵和捕食者u：、u的扩散系数，uo()是Q上满足相容条件的光滑函数，齐次Neumann边界条件表示系统是自封闭，即物种通

4、过边界条件既没有流出也没有流入。主要采用文献I2l的思想，应用线性化方法讨论系统(2)正平衡点的稳定性。全文组织如下：第一部分给出系统(1)正平衡点局部渐近稳定性的证明；第二部分给出系统(2)正平衡点局部渐近稳定性的证明。1系统(1)的稳定性容易得到系统(1)的平凡平衡点为(0，0，0)，系统(1)的唯一正常数平衡点为E(UI,，U)，其中，收稿日期：2014-03-17作者简介：卢雪~(1989一)'女，甘肃甘谷人，在读硕士研究生，主要从事偏微分方程及其应用方面的研究．基金项目：甘肃省自然科学)A．~-(1107RJZA197)；甘肃省教育厅硕导项目(1104-11

5、)．第3期卢雪丽等：具阶段结构的食饵一捕食者模型的稳定性(Y~+re)Y2=P72=。定理l下面结论成立：a)系统(1)的平凡平衡点Eo(O，0，0)无条件不稳定；b)系统(1)的唯一正常数平衡点￡’(U1，：，U3)局部渐近稳定。证明：a)系统(1)在点处的线性化矩阵为P000一一m00m一2所对应的特征根为：=，=一一m，=一2。这3个根中有1个正根，所以平衡点无条件不稳定。b)系统(1)在E’(，U2*U)处的线性化矩阵为f一：一6U3一6己，—b2＼lklblU；+k2【，；klblU—l一k2b2UIl0一J所对应的特征方程为：+A2。+B2+C=0其中，·

6、+：+，+6：+-p-klbtU=二≥>。，B=p七l+61元：～61l：—Pbl(43_．2+3．2m)>0—_一，U^十UlC=pTzklblU+pmk2b2Ul>0，目AB—C：丝型!±：±：!刍二～(klbl72+kzb2m)(blY2+b2m)。显然，当k2Yl>k17"~，6l>61时，AB—C>0。则由文献[3]67Routh-Hurwitz准则可知，当满足条件k2Ym>尼l2，bl>62时，方程(3)1~13个特征值均具有负实部，所以正常数平衡点E(。，U2*U)局部渐近稳定。2系统(2)的稳定性由偏微分方程基本理论可知，存在>0，使得Ih-j~(2)

7、在[0，T)上存在唯一解。类似于文献I4l中定理3．I的证明。可以证明如下定理：定理2设(，)，(，)，，))∈[c(Q×[0，))n(Q×[1，))]是(，0)=0≥O(i=1，2，3)时问题(2)的解，其中[0，T)是解的最大存在区间，则存在依赖于Q、问题(2)的系数及初值o(1，2，3)80洛阳理工学院学报(自然科学版)第24卷的正常数，使得0≤Ui(，f)≤(=1，2，3)，进一步T=+∞。为了分析平衡点的稳定性，需要引入一些概念和记号。设0