关于微分几何中可展曲面教学的一些探讨-论文.pdf

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1、第29卷第8期(上)赤峰学院学报(自然科学版)V01．29No．82013年8月JournalofChifengUniversity(NaturMScienceEdition)Aug2013关于微分几何中可展曲面教学的一些探讨郭芳(内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特010022)摘要：可展曲面是直纹面的一种类型，在理论和应用上都很重要．一般的教材中先给出可展曲面的定义，然后以命题的形式给出了可展曲面的诸多性质，其中对”可展曲面是单参数平面族的包络”这一性质学生不易理解，总感到茫然．为了帮助学生清晰地理解可展曲面的特

2、征性质，本文给出了直观的例子，并且具体给出了三种可展曲面的切平面族，这样处理教学内容，学生对”可展曲面是单参数平面族的包络”这一特征性质能够有个较深的理解．关键词：可展曲面；单参数曲面族；单参数平面族；包络；直母线中图分类号：0186．1文献标识码：A文章编号：1673—260X(2013)08—0015—021包络的概念对s：x2+y+(z一仅)2-1求关于参数仪的导数得，2给定单参数曲面族{s)，如果有一个曲面s满(z一仅)·(一1)=O即仅=z代人x2+y2+(z—c02=1得包络面，足：它就是圆柱面S：x+y=1。

3、或者，从特征线(1)S上任一点P都是{sl中某个曲面s上的f{“Yv2_1，，、，．也能看出，特征线的轨迹就是包络点，且s与s在点P有相同的切平面；【x‘+y+【z一仪JJ(2)对fs}中每一个曲面，在曲面s上有一点S：x+y2=1．P使得s与s在点有相同的切平面，则称曲面注1．1众所周知，圆柱面S：x2+y2=l是可展曲s为单参数曲面族{s}的包络．面，虽然圆柱面是可展曲面，但是由圆柱面s：包络s与单参数曲面族fs}中的曲面s相切x2+y2=l是单参数球面族s：x2+y2+(Z一仅)2-1的包络这的曲线称为特征线，特征线

4、的轨迹就是包络面S．一结论并不能得出圆柱面S：xz+v2_1是可展曲面的例1．1圆柱面S：xZ+yZ=l是单参数球面族s：论断．x+v+fz—c02=1的包络．2单参数平面族与可展曲面解由于对任意仅∈(一∞，+∞)圆柱面s：一般的教材中直接利用单参数平面族的包络刻画可展曲面，即又可展曲面的如下特征刻画．x2+y2=l和球面s：xz+)r2+(一)z：1沿着圆{+y相【Z=Ot命题2．1可展曲面是单参数平面族的包络．切，因此，圆柱面s：x+y=1上任一点P都是球面族学生对可展曲面的这一特征性质不易理解，总S：x+y+(z一0

5、【)=1中某个球面S上的点，且圆柱面S感到茫然，并且大多数学生总是死记硬背下来这一与球面s在点P有相同的切平面；反之，对单参数特征性质的，根本谈不到理解．下面把圆柱面s：球面族S：x+y+(z一002=1而言，在圆柱面S：x+yz_1x2+y=l理解为另一种单参数曲面族，即平面族s：上有一点使得球面s与圆柱面s在P点有相x—coso0cosot+(y—sintx)sinct=0的包络面，以此来直同的切平面，观地展现出可展曲面与单参数平面族的关系，进而因此圆柱面S：x+y=1帮助学生理解可展曲面的特征性质．是单参数球面族s：

6、x+y+例2．1考虑圆柱面S：x2+y。=1上单位圆fY2、r2—1(z一仪)=1的包络，如图1．r【一，这时单位圆上任一点的坐标可以写成⋯◆下面根据单参数球面z=U族s：x+y+(z—o02=1导出它(c0s0【，sinot，0)的形式，其中0≤仅≤1T．对任意0【∈的包络面的方程，即圆柱【O，21T]，过点(cosoL，sinc~，0)的圆柱面的直母线作平行图1面的方程S：x+y=1．于z轴的平面：1T：(x—coso0cosc~+(y—sino0sinet+(z一0)·0=0，即COS(Y~‘x+sinc~‘y=1．

7、个定理．下面根据单参数平面族订：COS0／．·x+sinot·y=l定理『31直纹曲面S：r(u，v)=p(u)+ve(u)是可展曲导出它的包络面的方程，即圆柱面的方程S：面，其充要条件是：沿准线C：v=O，r=p(u)，S是它的x+y=1．切平面族的包络面．对1r．"cos0／．·x+sinot·y=l求关于参数的导数证明参见文献[3]．得，一sinot·X+COS(?／．·y=O．最后，通过例题的讲解也为学生介绍了如何求从方程组{c0：x+眦‘y中消去得包络单参数平面族包络的方法：先对包含单参数d的曲面方程求导，再联立

8、方程，消去仅，得到包络的方面，它就是圆柱面S：x2+y2=1．程．如图2．下面给出柱面、锥面和一条曲线的切线曲面的注2．1把圆柱面S：切平面族方程[3J：x2+y2=1理解为不同于单参数球面族S：x2+y+z—o02=1I．柱面S柱：r=a(u)+vb的切平面的方程是：的另一种单参数曲面族，即耵u：【’