2014版高考数学(理科)二轮复习温习 中档大题保分练(三).doc

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1、中档大题保分练(三)(推荐时间:50分钟)1.已知向量m=(sinx,1),n=(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6.(1)求A;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的值域.解 (1)f(x)=m·n=Asinxcosx+cos2x=A=Asin.因为A>0,由题意知A=6.(2)由(1)得f(x)=6sin.将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到y=6sin=6sin的图象;再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y=6sin的图象.因此g(

2、x)=6sin.因为x∈,所以4x+∈,故g(x)在上的值域为[-3,6].2.某学校为准备参加市运动会,对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试,并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位:cm).跳高成绩在175cm以上(包括175cm)定义为“合格”,成绩在175cm以下定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚,跳高成绩相对较弱,为激励乙队队员,学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.(1)求甲队队员跳高成绩的中位数;(2)如果从所有的运动员中用分层抽样共抽取“合格”与“不合格”的人数共5人,则各抽取多少人?(3)若从所有“合格”运动员中选取2名,

3、用X表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数,试写出X的分布列,并求X的数学期望.解 (1)中位数==177cm.(2)根据茎叶图,有“合格”12人,“不合格”18人,用分层抽样的方法,每个运动员被抽中的概率是=,所以选中的“合格”有12×=2人,“不合格”有18×=3人.(3)依题意,X的取值为0,1,2.则P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===.因此,X的分布列如下:X012P∴E(X)=0×+1×+2×==.3.如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD.底面ABCD为直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=AD=PB,BC=2AD.

4、点E在棱PA上,且PE=2EA.(1)求证:CD⊥平面PBD;(2)求二面角A-BE-D的余弦值.(1)证明 以B为原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,BP所在直线为z轴,建立如图所示坐标系.设AD=1,则B(0,0,0),C(2,0,0),D(1,1,0),A(0,1,0),P(0,0,1),E,=(-1,1,0),=(0,0,1),=(1,1,0).∴·=0,即CD⊥BP.·=0,即CD⊥BD,又PB∩BD=B,∴CD⊥平面PBD.(2)解 设平面EBD的法向量n=(x,y,1),=∴⇒∴n=,又平面ABE的法向量为,设二面角的平面角为θ,∴cosθ===.即二面

5、角A-BE-D的余弦值为.4.已知数列{an}是一个公差大于零的等差数列,且a3a6=55,a2+a7=16,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=2bn-2.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=,Tn=c1+c2+…+cn,试比较Tn与的大小,并予以证明.解 (1)依题意,设等差数列{an}的公差为d(d>0),则有将②代入①得(16-3d)(16+3d)=220,即d2=4,∵d>0,∴d=2,a1=1,∴an=2n-1,当n=1时,S1=2b1-2,b1=2,当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=(2bn-2)-(2bn-1-2)=2bn-2bn-1,∴b

6、n=2bn-1.∴{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.即bn=2n.(2)cn==,Tn=++…+③Tn=++…++④∴③-④得,Tn=+++…+-=+++…+-=+-=-∴Tn=3-.Tn-=3--=,要比较Tn与的大小,只需比较2n与2n+1的大小即可.由2<2×1+1;22<2×2+1;23>2×3+1,24>2×4+1,…可猜想当n≥3时,2n>2n+1.证明如下:1°当n=3时,显然成立.2°假设n=k(k≥3)时,猜想成立,即2k>2k+1,当n=k+1时,2k+1=2·2k>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1.∴当n=

7、k+1时,猜想也成立.由1°,2°知,对一切n≥3的正整数,都有2n>2n+1.综上,当n=1,2时,Tn<,当n≥3时,Tn>.

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