2019届高考数学大二轮复习专题二函数与导数2.3二导数的综合应用练习.docx

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1、2.3(二)导数的综合应用【课时作业】A级1.(2018·昆明市高三摸底调研测试)若函数f(x)=2x-x2-1,对于任意的x∈Z且x∈(-∞,a),都有f(x)≤0恒成立,则实数a的取值范围为(  )                                          A.(-∞,-1]B.(-∞,0]C.(-∞,4]D.(-∞,5]解析: 对任意的x∈Z且x∈(-∞,a),都有f(x)≤0恒成立,可转化为对任意的x∈Z且x∈(-∞,a),2x≤x2+1恒成立.令g(x)=2x,h(x)=x2+1,当x

2、<0时,g(x)h(x).综上,实数a的取值范围为(-∞,5],故选D.答案: D2.已知函数y=f(x)是R上的可导函数,当x≠0时,有f′(x)+>0,则函数F(x)=xf(x)+的零点个数是(  )A.0B.1C.2D.3解析: 由F(x)=xf(x)+=0,得xf(x)=-,设g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x),因为x≠0时,有f′(x)+>0,所以x≠0时,>0,即当x>0时,

3、g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,此时函数g(x)单调递增,此时g(x)>g(0)=0,当x<0时,g′(x)=f(x)+xf′(x)<0,此时函数g(x)单调递减,此时g(x)>g(0)=0,作出函数g(x)和函数y=-的图象,(直线只代表单调性和取值范围),由图象可知函数F(x)=xf(x)+的零点个数为1个.答案: B3.定义1:若函数f(x)在区间D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在区间D上也可导,则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数,记作f″(x),即f″(x)=[f′(x)]′.定义2:

4、若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正,即f″(x)>0恒成立,则称函数f(x)在区间D上为凹函数.已知函数f(x)=x3-x2+1在区间D上为凹函数,则x的取值范围是________.解析: ∵f(x)=x3-x2+1,∴f′(x)=3x2-3x,∴f″(x)=6x-3.令f″(x)>0,即6x-3>0,解得x>.∴x的取值范围是.答案: 4.已知函数f(x)=,g(x)=-(x-1)2+a2,若当x>0时,存在x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,则实数a的取值范围是________.解析: 由题意得存

5、在x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,等价于f(x)min≤g(x)max.因为g(x)=-(x-1)2+a2,x>0,所以当x=1时,g(x)max=a2.因为f(x)=,x>0,所以f′(x)==.所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(1)=e.又g(x)max=a2,所以a2≥e⇔a≤-或a≥.故实数a的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).答案: (-∞,-]∪[,+∞)5.(2018·武汉市武昌区调研考试)已知函数f(x)=lnx+,a∈R.(1)讨论

6、函数f(x)的单调性;(2)当a>0时,证明f(x)≥.解析: (1)f′(x)=-=(x>0).当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a>0时,若x>a,则f′(x)>0,函数f(x)在(a,+∞)上单调递增;若00时,f(x)min=f(a)=lna+1.要证f(x)≥,只需证lna+1≥,即证lna+-1≥0.令函数g(a)=lna+-1,则g′(a)=-=(a>0),当0

7、<0,当a>1时,g′(a)>0,所以g(a)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.所以g(a)min=g(1)=0.所以lna+-1≥0恒成立,所以f(x)≥.6.(2018·南昌市第一次模拟测试卷)已知函数f(x)=ex-alnx-e(a∈R),其中e为自然对数的底数.(1)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的值及函数f(x)的单调区间;(2)若当x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.解析: (1)易知f(x)的定义域为(0,+∞).由f(x)=ex-alnx-e(a∈R),得f′(

8、x)=ex-.由题意可知f′(1)=0,所以a=e,所以f′(x)=ex-=.令g(x)=xex-e,则g′(x)=ex(1+x).当x>0时,g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0.所以当x∈(0,1)时,g(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g(x)>0,所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x

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