函数的单调性与最大(小)值

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1、1．理解函数的单调性及其几何意义．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．3．会求一些简单函数的值域．4．理解函数的最大值、最小值及其几何意义．考纲要求一、函数单调性的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1f(x2)逐渐上升逐渐下降考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目

2、链接二、证明函数单调性的一般方法课前自修1．定义法．用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是：(1)设x1，x2___________________________，且x1

3、(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)吗？【提示】不是，其单调增区间为(－∞，0]，(0，＋∞)．课前自修2．导数法．设f(x)在某个区间(a，b)内有导数，若f(x)在区间(a，b)内，总有f′(x)>0[f′(x)<0]，则f(x)在区间(a，b)上为增函数(减函数)；反之，若f(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)，则f′(x)≥0[f′(x)≤0]．请注意两者的区别所在．三、求函数单调区间的方法课前自修定义法、导数法、图象法．栏目链接四、复合函数及其单调性课前自修1．复合函数．设y＝f(u)，u∈B，u＝g(x)，x∈A，通过变量u，得到y关于

4、x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的______，记作________．其中y＝f(u)叫做外函数，u＝g(x)叫做内函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域的子集．复合函数y＝f(g(x))课前自修y＝f(u)增↗减↘u＝g(x)增↗减↘增↗减↘y＝f(g(x))增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同增异减”．栏目链接考点探究点评：(1)求函数的单调区间与确定单调性的方法：①利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．②定义法：先求定义域，再利用单调性定义．③导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．④图象法：如果函数是

5、以图象形式给出的，或者函数的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(2)求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤：①确定函数定义域；②将复合函数分解成两个基本初等函数；考点探究③分别确定两基本初等函数的单调性；④按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．(3)函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；一个函数如果有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．考点探究(－∞，－1)考点探究考纲要求课前自修考点探究感悟高考D变式1：判断函数y=在（-2，+∞）的单调性。变式2：指出函数y=的其他单调区间。作出函数y=x2-2

6、

7、x

8、-3的图像，并写出函数的单调区间函数单调性的应用比较大小练习分段函数的单调性错因分析：(1)仅考虑函数f(x)的单调性，忽略定义区间的限制(1－x2＞0)．(2)作为分段函数，忽视x取值范围影响对应关系，缺乏分类讨论的思想意识．防范措施：(1)分段函数的求解策略是“分段函数分段解决”，树立分类讨论的思想．(2)“对号入座”，根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应关系，转化为一般函数在指定区间上的问题．函数不等式单调性的应用4．设函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)在[2，＋∞)上是减函数，且f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是()A．[2，＋∞)B．[0,4

9、]C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪[4，＋∞)解析：由f(2＋x)＝f(2－x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，因此结合题意可假想函数f(x)的图象如图所示，结合图形可知实数a的取值范围是0≤a≤4.答案：B4．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．(2，＋∞)答案：B课前自修2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(

10、x

11、)＜f(1)的实数x的