分析力学2(拉格朗日方程)

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1、本周作业第53页动力学普遍方程习题1第54～58页拉氏方程（1）、（2）（共6题）拉氏方程作业中关于广义坐标的规定（见黑板）本学期的作业统计（计算平时成绩）到本周一交的作业（虚位移原理）为止，作业登记情况将在本周六挂网，请到时尽快上网查询（如有差错请在下周一（第十七周周一）答疑时统一更改）。1回顾：第十四章引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题——达朗伯原理（动静法）。虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，提供了研究静力学平衡问题的另一途径。虚位移

2、原理与达朗伯原理结合起来组成动力学普遍方程，又为求解复杂系统的动力学问题提供另一种普遍的方法。这些理论构成分析力学的重要内容。第二类拉格朗日方程（拉氏方程）：用广义坐标表示的动力学普遍方程，更适合求解多自由度的复杂系统的动力学问题（区别动能定理：动能定理本身较难求解多自由度系统的动力学问题）（属于分析动力学）。本章的所有习题必须用本章的原理求解。2经典动力学的两个发展方面拓宽研究领域牛顿运动定律由单个自由质点拓展★自由质点和质点系(以动力学三大普遍定理为基础)★受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础

3、)欧拉将牛顿运动定律★刚体和理想流体矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学寻求新的表达形式将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学★建立分析动力学的新体系拉格朗日力学34567891011拉格朗日Lagrange（1736-1814年）法国数学家、力学家及天文学家。只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，奠定变分法之理论基础。发表大量有关变分法、概率论、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些著作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。到了1764年，他凭万有引力解释月球运动问题获得法国巴黎科学院

4、奖金。1766年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题［木星的四个卫星的运动问题］而再度获奖。写了继牛顿后又一重要经典力学著作《分析力学》(1788年)。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化。12牛顿力学（或矢量力学）的缺陷：1、求质点组的运动时，要解大量的微分方程2、有约束的系统，约束力常常是未知量，这使要求的力很多，问题更复杂。3、对复杂系统的运动，牛顿力学的矢量分析方法十分费力。4、在各种曲线坐标系中运动微方取不同的形式。问：1)能否避

5、开求约束力和繁杂的矢量运算而得出系统的动力学方程？2)能否找到新的动力学方程，使得对不同的力学系统和任意的曲线坐标都有统一的形式？133)能否以一特征量来代表一力学系统？以拉格朗日为代表的分析力学的问世回答了这些问题。分析力学所重视的已不是直观的力和加速度，而是具有更广泛意义的能量。从而使分析力学远远超出了解决力学的范围。分析力学的产生背景：18世纪30年代工业革命开始到19世纪，工程上呈现了许多“多质点，多约束，非常见坐标系”等复杂问题，从而客观上推动了传统的力学理论向实用化，普遍化，数学化方面发展。178

6、8年，Lagrange著《分析力学》，该书特点：1）全书没有一张图，2）完全用数学分析的方法解决力学问题。分析力学方法在量子力学中有重要应用。如量子力学中的Schrödinger方程的建立应用了分析力学的H-J方程。14分析力学也曾被Rutherford应用于α粒子散射；Sammerfield应用分析力学理论扩充了Bohr的氢原子模型，为量子光谱理论开辟了道路。分析力学的基本理论体系15第十六章拉格朗日方程§16-1动力学普遍方程综合运用虚位移原理和达朗贝尔原理，可得处理非自由质点系动力学问题的动力学普遍方程

7、。xBAxAθθB用什么方法建立系统的运动与主动力的关系?动能定理？16考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有FF+−mina=0(=1,2,⋅⋅⋅,)iNiii主动力惯性力形式上组成一个“平衡”力系令系统有任意一组虚位移δr(in=1,2,⋅⋅⋅,)i应用虚位移原理：17系统的总虚功为∑()FFi+Ni−miiar⋅δi=0(in=1,2,⋅⋅⋅,)i利用理想约束条件（定义）∑FrNii⋅δ=0(in=1,2,⋅⋅⋅,)i得到∑(Fari−mii)⋅δi=0(i

8、n=1,2,⋅⋅⋅,)i——动力学普遍方程任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。18∑(Fari−mii)⋅δi=0(in=1,2,⋅⋅⋅,)i动力学普遍方程的直角坐标形式∑[(Fxi−mixi)⋅δxi+(Fyi−miyi)⋅δyi+(Fzi−mizi)⋅δzi]=0ii=1,2,⋅⋅⋅,n动力学普遍方程适用于具有理想约束或