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1、第四节隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率(不讲)前面我们讨论的函数都表示为y=ƒ(x)的形式,其特点是:等号左端是因变量y,而右端是只含自变量x的表达式.这种方式表达的函数称为显函数.如果x与y之间的函数关系不是直接表达出来,而是用x,y的一个表达式,如方程F(x,y)=0的形式表达出来,也就是说,方程F(x,y)=0也可以确定y是x的函数,即在方程F(x,y)=0中当x取某区间内的任一个值时,相应地总有唯一地满足这个方程的y值存在,这就是由方程F(x,y)=0确定
2、的函数,我们称为隐函数.一、隐函数的导数(2)由方程F(x,y)=0确定y是x的函数不能或不易显化.如这时由方程F(x,y)=0确定了y是x的隐函数.(1)由方程F(x,y)=0反解出y,确定y是x的函数y=ƒ(x),我们称为将一个隐函数显化;问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?既然由方程F(x,y)=0确定了y是x的(隐)函数,因而有必要讨论直接由方程F(x,y)=0如何求它所确定的隐函数的导数.一般地,方程F(x,y)=0在一定条件下确定的隐函数有两种情形:隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接方程两边同时对x求导.解例1
3、求由方程所确定的隐函数的导数方程两边同时对x求导.解得由方程知x=0,y=0,注求导时要把方程中的y看作x的函数，按复合函数求导法则见到y就要对x求导.例2求曲线y+x–exy=0在点(0‚1)处的切线方程.解方程两端逐项对x求导(y是x的函数)得解得将已知条件代入得解练一练1.2.设方程x2+y2=R2确定函数y=y(x),求解方程两端逐项对x求导(y是x的函数)得解得例3求由方程x3+y3–a=0(a是常数)确定的隐函数y(x)的二阶导数.解方程两端逐项对x求导(y是x的函数)并解得上式两端再对x求导(y是x的函数)得1.设x
4、4–xy+y4=1,求隐函数y(x)在点(0,1)处的二阶导数值.解方程两端逐项对x求导得代入x=0,y=1得将方程(1)两端再对x求导得代入x=0,y=1,得练一练解2.对数求导数法对于幂指函数和连乘积函数,直接利用基本初等函数的求导公式和求导法则很难求出其导数,这时可以采用先取自然对数,然后再使用则复合函数的可导法则求其导数.这种求导方法称为对数求导法.对数求导法的步骤:1.两端取自然对数;2.两端利用求导法则对求导;3.解出.例4求幂指函数的导数.解1(对数求导法)首先取对数，得1.幂指函数y=ƒ(x)φ(x)(ƒ(x)>0
5、)的导数.解2利用复合函数求导法则,得上面例子说明对数求导法是充分利用对数性质及复合函数求导法则来简化求导计算的方法.例5设解取已知函数的绝对值的对数,得2.多个函数连乘或连除的导数解2.解1.练一练3.设函数故若参数方程可确定一个y与x之间的函数关系,我们称之为由参数方程所确定的函数.我们可以通过消去参数t得到y与x之间的显式函数表达式.例如消去参数二、由参数方程所确定的函数的的导数但是,有时消去参数t比较困难,所以我们希望直接由参数方程(1)得到y对x的导数.时,有则可导,且若由参数方程所确定的函数的求导法则:时,有(此时看成
6、x是y的函数)例5设解因为解方程组两边同时对t求导,得设，练一练解练一练所求切线方程为由参数方程所确定的函数的二阶导数:若参数方程中,二阶可导,且则由它确定的函数y=ƒ(x)可求二阶导数..利用新的参数方程,可得解例6设问题已知一阶导数可以看作新的参数方程所确定的函数，再一次利用参数方程求导数,得?而说明解求由参数方程确定的函数的二阶导数.练一练解练一练解练一练解相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?三、相关变化率（不讲）例8解仰角增加率例9解水面上升之速率4000m隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导
7、法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.小结思考题思考题解答不对．
