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1、4.1函数的基本概念4.2特殊函数类4.3逆函数第4章函数4.1函数的基本概念4.1.1函数的定义函数亦称映射或变换,其定义如下:定义4.1―1设X和Y是集合,一个从X到Y的函数f记为f:X→Y,是一个满足以下条件的关系:对每一x∈X,都存在唯一的y∈Y,使〈x,y〉∈f。〈x,y〉∈f通常记作f(x)=y,X叫做函数f的前域,Y叫做f的陪域.在表达式f(x)=y中,x叫做函数的自变元,y叫做对应于自变元x的函数值..从定义可看出,X到Y的函数f和一般X到Y的二元关系的不同有以下两点:(1)X的每一元素都必须作为f的序偶的第一
2、个成分出现.(2)如果f(x)=y1和f(x)=y2,那么y1=y2.通常我们也把函数f看作是一个映射(变换)规则,它把X的每一元素映射到(变换为)Y的一个元素,因而f(x)又叫做x的映象.在定义一个函数时,我们必须指定前域,陪域和变换规则,变换规则必须覆盖所有可能的自变元的值.例如f:I→I,f(x)＝0,如果x≤0;f(x)=x－1,如果x＞0定义了一个函数.如果函数的前域是有限的,那么可以通过列表或画有向图表述变换规则.例如g:｛a,b,c,d｝→｛1,2,3｝g(a)=1g(b)=2g(c)=2g(d)=1定义了一函数
3、.或xg(x)a1a2c2d1图4.1―1定义4.1―2设f:X→Y,g:W→Z,如果X=W,Y=Z,且对每一x∈X有f(x)=g(x)则称f=g.函数相等的定义和关系相等的定义是一致的,它们必须有相同的前域与陪域和相等的序偶集合.例如函数f:I→I,f(x)=x2和函数f:｛1,2,3｝→I,f(x)=x2是两个不同的函数.图4.1―2定义4.1―3设f是从X到Y的函数,X′是前域X的子集,那么f(X′)表示Y的子集,f(X′)=｛y｜x(x∈X′∧y=f(x))｝叫做函数f下X′的映象.整个前域的映象f(X)叫做函数f的
4、映象(或叫f的值域).对任何函数f:X→Y，定义4.1-3含蓄地指定了另一函数F，F:ρ(X)→ρ(Y)，对任一X′X，F(X′)=｛y｜x(x∈X′∧y=f(x))｝。f和F显然不是相同的函数，f的前域和陪域是集合X和Y，f映射X的元素到Y的元素;F的前域和陪域是集合ρ(X)和ρ(Y)，F映射X的子集到Y的子集，如图4.1-2所示。图4.1-3例4.1-1(1)假定f:｛a,b,c,d｝→｛1,2,3,4｝用图4.1―3定义.那么f(｛a｝)=｛1｝;f(｛a,b｝)=｛1,3｝;f(｛a,b,c｝)=｛1,3｝;f(｛a,
5、b,c,d｝)=｛1,3,4｝;f()=图4.1―4(2)设f:I→I,x≤0时f(x)=0,x＞0时f(x)=x－1,那么:f(－1)=0,f(｛－1｝)=｛0｝f(0)=0,f(｛0｝)=｛0｝f(1)=0,f(｛1｝)=｛0｝f(2)=1,f(｛1,2,3,…｝)=Nf(3)=2,f(｛2,4,6,8…｝)=｛1,3,5,7…｝f(4)=3,f(｛0.－1,－2,…｝)=｛0｝…通常用YX表示从集合X到集合Y的所有函数的集合,应用这样的符号有其方便之处,因为如果X和Y都是有限集合时,设｜X｜=m,｜Y｜=N,则｜YX｜
6、=Nm=｜Y｜｜X｜.这是因为对每个自变元,它的函数值都有N种取法,故共有nm种从X到Y的函数.函数的前域X时常是某个集合叉积.具有前域的函数f叫做n个变元的函数,在〈x1,x2,…,xn〉上的f值用f(x1,x2,…,xn)表示,这里xi∈Xi.算术运算,诸如加,减,乘等都是二元函数的例子.这些函数通常用固定的符号表示.例如加法可表示为+(x,y),或x+y.例4.1-2(a)设X=｛a,b,…,z｝,Y=｛01,02,…,26｝,f:X→Y.f(a)=01,f(b)=02,…,f(z)=26.f是一个简单的编码函数.(b
7、)S:N→N,S(N)=N+1.S叫皮亚诺后继函数.(c)X和Y是非空集合,P:X×Y→X,P(x,y)=x.P称为投影函数.(d)X和Y是非空集合,f:X→ρ(X×Y),f(x)=｛x｝×Y.函数值｛x｝×Y代表X×Y在x处的截痕,f叫截痕函数.(e)如果X=,Y是任意集合,那么空关系是从X到Y的无义的函数,叫空函数.如果X≠而Y=,那么从X到Y的唯一关系是空关系,但这空关系不是从X到Y的函数.没有一个函数,它有非空的前域和空的陪域.4.1.2合成函数关系可以合成.函数是关系,也可以合成,下述定理将证明由合成所得的关系确是一
8、个函数.合成是获得新函数的常用方法之一,因为直接去定义一个具有一定性质的函数,有时不如利用两个具有一定性质的已知函数合成得出来得方便.定理4.1―1设g:X→Y和f:Y→Z是函数,那 么合成函数f·g是从X到Z的函数g:X→Y和f:W→Z且YW时,如果需要也可定义合成函数f·
