2.4 hermite插值多项式

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1、第四节Hermite插值多项式要求在节点上函数值相等，而且要求在节点上若干阶导数也相等。即,要求插值函数P(x)满足在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅把此类插值多项式称为埃米尔特（Hermite）插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H(x)。两点三次Hermit插值已知：构造一个次数3的多项式H3(x)，满足插值条件：（*）两点三次Hermit插值（续1）直接设待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆Lagrange插值基函数的方法，引入四个基函数使之满足5两点三次Hermit插值（续2）其中都是次数为3的多项式则H3(x)是一个次数3的多项式且满足插值条

2、件（*）基函数求法：求3同理设由β'0(x0)=1，得,于是同理有定理：满足插值条件（*）的三次Hermite插值多项式H3(x)存在且唯一。三次Hermite插值多项式的余项定理设f(x)在包含x0,x1的区间[a,b]内存在四阶导数，则对任意x[a,b]，总存在一个(a,b)（依赖于x）使证明:由插值条件知R3(x0)=R3'(x0)=0,R3(x1)=R3'(x1)=0构造辅助函数利用f(x)–H3(x)=C(x)(x–x0)2(x–x1)2取x异于x0和x1,设反复应用Rolle定理,得F(4)(t)至少有一个零点设为ξ∈(a,b)显然,F(t)有三个零点

3、x0,x,x1,由Rolle定理知,F'(t)至少有两个零点t0,t1满足x0

4、不能简单地这样认为，原因有三个：一.高次插值的龙格(Runge)现象插值余项与节点的分布有关；余项公式成立的前提条件是有足够阶连续导数（即函数足够光滑），但随着节点个数的增加，这个条件一般很难成立；随着节点个数的增加，可能会增大。随着节点个数增加到某个值，误差反而会增加。增加插值多项式的次数并不一定会有更好的插值结果，这是因为高次多项式的振荡是很厉害的.例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取-5-4-3-2-1012345-0.500.511.522.5n越大，端点附近抖动越大，称为龙格（Runge）现象Ln(x)f(x)n=2n=5n=10分段低次插值分段插值的概

5、念所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，先将所考察的区间作一分划并在每个子区间上构造插值多项式，然后把它们装配在一起，作为整个区间上的插值函数，即称为分段多项式。定义设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点a=x0

6、分段线性插值2.分段线性插值函数的表达式由定义，在每个子区间[xi,xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是一次插值多项式;分段线性插值函数分段线性插值曲线图：注：由图象可知，在节点处的光滑性较差，为了提高光滑性，讨论分段三次埃尔米特插值。3.分段线性插值函数的余项定理：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x)，则对其中，证明：在每个小区间在区间上由于缺点：分段插值函数只能保证连续性，失去了原函数的光滑性。优点：计算简单；适用于光滑性要求不高的插值问题。1.问题的提法分段三次Hermite插值多项式存在唯一三.分段三次Hermite插值2.分段三次Herm

7、ite插值的表达式当x∈[xi，xi+1]时,两点Hermite插值(i=0,1,2,···,n-1)定理：设f(x)在[a,b]上具有四阶连续导数，S3(x)是其分段三次Hermite插值函数，则对任一给定的,有