2012_11_28有限元讲稿第四章_等效载荷rev4

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1、第四章弹性结构静力分析1（3）等效节点载荷的计算有限元法是以节点处的“力平衡条件”建立求解方程的，因此当单元内部存在体力或边界上存在面力时，必须通过某种方式将这些载荷转移变换到单元的节点处。在有限元法中，采用“静力等效原则”进行等效节点载荷计算。所谓“静力等效原则”是指，对任意虚位移，原来载荷与转换后的节点载荷在同一虚位移上的虚功相等。2（3）等效节点载荷的计算设有一均质、等厚度的三角形单元i,j,k受重力W的作用，其合力作用在单元的形心，试根据静力等效原则求转换到节点上的等效载荷。oxyijmYii’bcc’W1、假设单元产生以下几何容许的

2、虚位移：节点i只沿y方向移动单位1；而其余两节点j,k为铰支约束2、由于位移模式为线性函数变化，当节点i移动后，单元内部bi线段上各点位移均按直线移动，即变形后仍为直线bi’；3、重力W作用在形心：bc/bi=1/3当ii’=1，则形心c沿y移动：c’c/ii’=bc/bi=1/34、所以可得：-W1/3=Yi1，Yi=W/3；同理可得：Yj=W/3，Yk=W/3；3（3）等效节点载荷的计算几种载荷的等效节点载荷计算。考虑单元中某一点(x,y)作用有集中载荷P：{P}=[px,py]T对应等效节点载荷列阵为：{R}e=[Xi,Yi,Xj

3、,Yj,Xk,Yk]T单元内部产生虚位移，集中载荷作用点(x,y)的虚位移为：{f}=[u,v]T对应节点虚位移为：{}e=[ui,vi,uj,vj,uk,vk]T由位移模式有：{f}=[N]{}e利用虚位移原理可得：({}e)T{R}e={f}T{P}=([N]{}e)T{P}利用矩阵乘积逆序法则：({}e)T{R}e=({}e)T[N]T{P}由于虚位移是任意的，则有：{R}e=[N]T{P}4（3）等效节点载荷的计算如果单元上有体力作用，沿x,y方向的体力分量为{P}=[X,Y]T，相当于在

4、点(x,y)处作用集中力为{P}tdxdy，则等效节点载荷为：如果单元某边界受有面力q作用，沿x,y方向的面力分量为{q}=[qx,qy]T，若将微元体tds上的面力qtds当作集中载荷P，相当于在边界点(x,y)处作用集中力为P={q}tds，则等效节点载荷为：5（4）结构整体刚度矩阵的集成对结构分析建立整体刚度矩阵的方法，是利用单元“节点的平衡方程”。用具体例题说明如下。aaaa123456X2X1Y1ijmijmmijjim1234由于该结构有6个节点，节点自由度为12，即需要确定的节点位移参量为12个，应列出12个线性方程。这样，线性

5、方程组的系数矩阵，也即总刚度矩阵有1212个元素，按(x,y)分块后有66子矩阵。6（4）结构整体刚度矩阵的集成按节点编号列出总刚阵结构，每一个子阵先用零表示：aaaa123456X2X1Y1ijmijmmijjim1234如果取U1=1，其余U2=…=U6=0,则有：[K11}=F1；[K21]=F2；…[K61]=F6；则[K11]表示节点1作用单位1位移时，在节点1产生的载荷，其余类推。=1=0=0=0=0=07（4）结构整体刚度矩阵的集成建立每个单元的刚度矩阵，如对单元③可表示为：aaaa123456X2X1Y1ijmijm

6、mijjim1234注意单元节点编号(i,j,m)与整体节点编号的对应关系：(i,j,m)=(5,3,2)当许多单元共用一个节点时，作用在该节点的合力就是每个单元刚阵中具有相同下标子矩阵[kij]的迭加，也就是总刚阵中具有相同下标的元素，即：8（4）结构整体刚度矩阵的集成建立每个单元的刚度矩阵，如对单元③可表示为：注意单元节点编号(i,j,m)与整体节点编号的对应关系：(i,j,m)=(5,3,2)其中，[kii]=[k55]表示单元③的节点5作用单位位移时在节点5产生的节点力；它应与总刚阵子阵[K55]迭加；[kij]=[k53]表示单元③

7、的节点3作用单位位移时在节点5产生的节点力；它应与总刚阵子阵[K53]迭加；[kij]=[k52]表示单元③的节点2作用单位位移时在节点5产生的节点力；它应与总刚阵子阵[K52]迭加等，9（4）结构整体刚度矩阵的集成即“相同下标的单元子阵元素相加”就可以得到该结构的总刚度矩阵元素为：[K11]=[k11](1)，[K12]=[k12](1)，[K13]=[k13](1)；[K21]=[k21](1)，[K22]=[k22](1)+[k22](2)+[k22](3)，[K23]=[k23](1)+[k23](3)；[K31]=[k31](1)，

8、[K32]=[k32](1)+[k32](3)，[K33]=[k33](1)+[k33](3)+[k33](4)；[K42]=[k42](2)，[K44]=[k44