自动化实验-倒立摆实验-附仿真结果图.docx

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1、一、直线一级倒立摆的仿真(一)直线一级倒立摆的数学建模对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。图2直线一级倒立摆模型φ摆杆与垂直向上方向的夹角；θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。图3小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

2、由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：25把这个等式代入式1中，就得到系统的第一个运动方程：为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向，由于θ=π+φ,cosφ=−cosθ,sinφ=−sinθ，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：设θ=π+φ（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ<<1，则可以进行近似处理：。用u来代表被控对象的输入力F，线性化后

3、两个运动方程如下：对式9进行拉普拉斯变换，得到注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：或如果令v=x，则有：25把上式代入方程组的第二个方程，得到：整理后得到传递函数：其中设系统状态空间方程为：方程组对解代数方程，得到解如下：整理后得到系统状态空间方程：25设则有：实际系统的模型参数如下:M小车质量1.096Kgm摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.0034kg*m*m把上述参数代入，

4、可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数：摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：25以外界作用力作为输入的系统状态方程：(一)倒立摆的PID调节：经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型。PID控制器因其结构简单，容易调节，且不需要对系统建立精确的模型，在控制上应用较广。首先，对于倒立摆系统输出量为摆杆的角度，它的平衡位置为垂直向上的情况。系统控制结构框图如下：图1直线一级倒立摆闭环系统结构框图25图中

5、KD(s)是控制器传递函数,G(s)是被控对象传递函数。考虑到输入r(s)=0，结构图可以很容易的变换成：图2直线一级倒立摆闭环系统结构框图该系统的输出为：其中num——被控对象传递函数的分子项den——被控对象传递函数的分母项numPID——PID控制器传递函数的分子项denPID——PID控制器传递函数的分母项通过分析上式就可以得到系统的各项性能。摆杆角度和小车加速度的传递函数：PID控制器的传递函数为：需仔细调节PID控制器的参数，以得到满意的控制效果。小车位置输出为：通过对控制量v双重积分即可以得

6、到小车位置。由实际系统的物理模型：(一)simulink仿真在Simulink中建立如图所示的直线一级倒立摆模型：其中Scope中的图像25为位移的响应曲线，Scope1为角度的响应曲线。PID参数的调节：首先确定比例环节，不考虑微分环节和积分环节，分别取三组数据，，，仿真结果如下：25图（1）25图（2）25图（3）图（1）的图像不收敛，是由于比例调节系数取得不得当，随着比例系数的增大，从图中可以看出，闭环控制系统持续振荡，周期约为0.7s。为消除系统的振荡，增加微分控制参数。下面探讨环节对系统响应的影

7、响，分别取，，，，仿真响应结果如下图：25图（1）25图（2）25图（3）25图（4）25图（1），，系统稳定时间过长，大约为4秒，且在两个振荡周期后才能稳定，因此再增加微分控制参数，图（2）的超调明显减少，而到了图（3），基本没有是渐进稳定的，但是无论怎么调节，都存在稳态误差，因此，加入积分环节。为了探讨积分环节的作用，去以下三组数据，，，，仿真结果如下：25图（1）25图（2）25图（3）由上图可以看出，从上面仿真结果可以看出，系统可以较好的稳定，但由于积分因素的影响，稳定时间明显增大。可以从Scop

8、e1看出，由于PID控制器为单输入单输出系统，所以只能控制摆杆的角度，并不能控制小车的位置，所以小车会往一个方向运动。25一、直线一级顺摆建模和实验(一)直线一级顺摆的数学建模直线一级倒立摆的摆杆在没有外力作用下，会保持静止下垂的状态，当受到外力作用后，摆杆的运动状态和钟摆类似，如果不存在摩擦力的作用，摆杆将持续摆动，很多情况下，我们并不希望出现这种持续振荡的情况，例如吊车在吊动物体的时候，我们希望物体能过很快地停止到指定的位