7.4 克勒尼希-彭尼模型与近自由电子

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1、1克勒尼希-彭尼模型一维方形势井阵列周期势1.0

2、G

3、的增大，UG迅速减小5电子波函数也可以表示成一个傅里叶级数求和遍及边界条件能够允许的所有波矢值，对满足周期

4、性边界条件的长度为L的一维晶体集合2np/L中的波矢并非全部都出现在任何特定的布洛赫函数的傅里叶展开式中。如果某一波矢k出现在f中，则f的展开式出现的其余波矢都将具有k+G的形式6可以把包含傅里叶分量k的波函数记为fk，则同样也可记为fk+G，因为如果k出现在傅里叶级数中，则k+G也会出现遍及G的那些波矢k+G是波矢集合2np/L中的一个限制型子集7从上式可以得到所谓的中心方程因此用一组代数方程取代了原来的微分方程。该方程组的方程数目巨大，看起来难以求解，但实际上常常只要解少数几个就足够了将波函数的傅里叶展开式代入波动方程，得8一旦

5、解出了C(k)，则电子波函数就可以写为7.4.1关于布洛赫定理的另一种表述形式T任意格矢等于1满足布洛赫定理97.4.2电子的晶体动量略10我们讨论一个具体的问题：令g表示最短的倒格矢，并假定势能仅含有一个傅里叶分量Ug=U-g，记为U，于是上述方程组的一部分方程7.4.3关于中心方程的解11系数行列式的一部分行列式的维度是无限的，但令这部分为0就足够除了重根外，对于一个给定的k，每个根都处在不同的能带上12周期性d函数势场中的克勒尼希-彭尼模型7.4.4倒易空间中的克勒尼希-彭尼模型其中G为倒格矢13中心方程变为定义于是因此14利

6、用因此以及三角函数公式，上式求和部分变为此即克勒尼希-彭尼的结果15自由电子的能量7.4.5空格点近似位于第一布里渊区各合适的倒格矢16例：简单立方晶格的低能态自由电子能带已令17假定势能的傅里叶分量UG与布里渊区边界上的自由电子的动能相比是小的。首先考虑一波矢更好在布里渊区边界G/2处7.4.6在布里渊区边界附近的近似解因此布里渊区边界上的两个组分波的动能相等18若C(G/2)是波函数在布里渊区边界上的一重要系数，则C(-G/2)也是，仅保留中心方程中包含这两系数的两方程非零解条件19在布里渊区边界处导致宽度为2U的能隙两系数之比

7、因此f(x)在布里渊区边界有两个解这两个解分别对应能隙底部和顶部的波函数，具体哪个具有较低的能量取决于U的符号20布里渊区边界附近的轨道，同样二分量近似据中心方程列出下面一对方程非零解条件21令，该量在布里渊区边界处为小量两个能量孰高孰低取决于U的符号22能带系数比