二重积分的对称性及其应用.pdf

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1、第6卷第4期湖南冶金职业技术学院学报Vol.6No.42006年12月JournalofHunanMetallurgicalProfessionalTechnologyCollegeDec.2006二重积分的对称性及其应用黄萱平(湖南冶金职业技术学院,湖南　株洲,412000)摘要:证明了二重积分的变量轮换对称性和奇偶对称性;在二重积分计算中,增强对称性的使用意识,利用对称性简化解题过程。关键词:二重积分;对称性;计算中图分类号:0172.2　文献标识码:A　文章编号:1672-7142(2006)04-516-03

2、　　与定积分相比,重积分的计算显得困难得多,定理2.(1)若积分区域D关于x(或y)轴对仅就二重积分来说,按常规解法既要根据积分区称,设D1是D在x轴上方(或y轴右侧)的部分,域选择积分次序,还要正确地定好积分上下限,将则二重积分转化为二次积分。然而,当积分区域或kf(x,y)dxdy=被积函数具有某种对称性时,若利用对称性进行D0f(x,y)关于y(或x)为奇函数,合理地搭配,就能变难为易,简化解题过程,提高解题效率。2kf(x,y)dxdyf(x,y)关于y(或x)为偶函数.D1二重积分的对称性有两种:变量轮换对

3、称性(2)若积分区域D关于x,y轴均对称,设D1和奇偶对称性。是D在第一象限的部分,则一、变量轮换对称性kf(x,y)dxdy=定理1.若f(x,y)为区域D上的连续函数,区D域D关于直线y=x对称,则0f(x,y)关于x或y为奇函数,kf(x,y)dxdy=kf(y.x)dxdy.4kf(x,y)dxdyf(x,y)关于x和y均为偶函数.DDD1证明:在直角坐标系下,不妨设区域D是X(3)若积分区域D关于原点对称,设D1是D-型区域,D由曲线y=φ1(x)和y=φ2(x)围成的右半平面或上半平面部分.则(aFxFb

4、,φ2(x)FyFφ1),且D1,D2分别是区kf(x,y)dxdy=域D在直线y=x的左、右两侧部分.(D为其他情D0f(x,y)关于(x,y)为奇函数,形时可分块转化成若干个X-型区域或Y-型区2kf(x,y)dxdyf(x,y)关于(x,y)为偶函数.域,并利用可加性证之).D1因为D1和D2关于直线y=x对称,所以,有证明:(1)在区域D关于x轴对称的条件下,-1bφ2(y)f(x,y)dxdy=dyf(x,y)dx仅证明D为X-型区域时的情形.设D由不等式k∫a∫φ-1(y)D1aFxFb,φ2(x)FyF

5、φ1(x)确定,D1,D2分别是区bφ2(x)=∫dx∫f(y,x)dy(换元:y=x)域D在x轴上方、下方部分,则有aφ1(x)kf(x,y)dxdybφ1(x)D2=dxf(y,x)dy∫a∫φ(x)b02=∫dx∫f(x,y)dyaφ(x)2=kf(y,x)dxdyb0D=∫dx∫f(x,y)dya-φ(x)二、奇偶对称性1收稿日期:2006-10-08作者简介:黄萱平(1955-),女,湖南长沙人,湖南冶金职业技术学院基础课部教师。第4期黄萱平:二重积分的对称性及其应用517b0对积分区域关于坐标轴对称,同时

6、被积函数=-∫dx∫f(x,-u)du(换元:y=-u)aφ(x)1关于变量具有奇偶性的二重积分,应当考虑运用bφ(x)1=∫dx∫f(x,-u)du奇偶对称性来简化二重积分的计算。a0bφ(x)1=∫dx∫f(x,-y)dy(换字母)例2.计算二重积分k(x+y)dxdy,其中Da0D=kf(x,-y)dxdy为抛物线y=x2,y=4x2及直线y=1所围成的D1[2]区域.由二重积分的可加性,得kf(x,y)dxdy=kf(x,y)dxdy+kf(x,y)dxdyDDD12=kf(x,y)dxdy+kf(x,-y)

7、dxdyDD11=k[f(x,y)+f(x,-y)]dxdyD1所以,有kf(x,y)dxdy=D0f(x,y)关于y为奇函数,解:积分区域D(如图)关于y轴对称,虽然2kf(x,y)dxdyf(x,y)关于y为偶函数.被积函数f(x,y)关于变量并不具有奇偶性,但D1类似地可证积分区域D关于y轴对称及(2),kxdxdy与kydxdy分别关于x为奇、偶函数,应用DD(3)两种情形.怎样应用对称性简化二重积分的计算呢?定理2(1),有kxdxdy=0,kydxdy=2kydxdyDDD21222x例1.设区域D为x+

8、yFR,求k(2+(其中D1为D在y轴右侧的部分)aD2由此可得(x+y)dxdyy[1]k2)dxdyDb=xdxdy+ydxdy解:积分区域D关于直线y=x对称,且函数fkkDD22xy(x,y)=2+2在D上是连续的.所以,利用定理=2kydxdyabD11,有132x2y2y2x2=2y2dy=k(2+2)dxdy=k(2+2)dxdy