初中数学竞赛代数部分

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1、初中数学竞赛题选讲（代数部分）小组成员：邱晓敏黄亮香龙燕妮刘以晨内容主要分为四部分：代数式的求值问题方程与方程组的求解问题及其应用一元一次不等式（组）及二元一次不等式（组）的求解及应用二次函数问题关于整式的求值问题关于分式的求值二次根式代数式的求值的相关考点：一、一元一次方程与多元一次方程组；二、一元二次方程；三、可化为一元二次方程的方程；四、列方程组解应用题。方程与方程组相关考点：不等式（组）的考点：1.考察不等式组的解法2.不等式组的整数解问题3.不等式中字母范围的确定4.带绝对值的不等式解答5.利用不等式解决实际问题二次函数考点

2、：1、二次函数的性质2、二次函数的表达式3、二次函数与一元二次方程的关系4、根与系数的关系有关知识拓展：整式：1、高次二项式的变形：2、的变形：3、的变形：4、公式：5、带余除：若关于x的多项式A与B相除，商式为f(x),余式为Q(x),则A=f(x)B+Q(x)分式：运算法则：二次根式：代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值

3、．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．一、灵活运用乘法公式和运算法则代数式的变形化简，离不开乘法公式、各种运算法则及它们的变形用法。有些条件求值问题，条件与结论间存在明显的结构联系。利用乘法公式或适合的运算性质就能解。二、设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析：若从求的值入手，可考虑到应把条件两边平方，在平方之后，虽然

4、会出现一些交叉项，但能从另一个已知条件给予解决。采用换元法求解。三、将已知条件整体代入求值（整体法）例3已知，那么分析：共有1996项，将每四项分成一组，共499组，每组中都有因式，因此结果为0.（第八届“祖冲之”杯竞赛试题）方法二：（这道题也可以从已知条件入手）例4若a、b都是正实数，且，则（1992年全国联赛试题）例5已知分析：如果把所给的条件看成是方程组，那么它是四元五次方程组，要求解这样的高次方程组是无能为力的。观察待求值的多项式，它是关于x=y、xy、a+b的多项式，如果能通过已知条件的变形，求出x+y、xy、a+b，问题就

5、解决了。或者构造出关于x+y、xy、a+b,且易求解的方程组，问题也解决了。四、构造方程的求解例6已知p、q是有理数，满足，则p+q的值是（）。（A）-1（B）1（C）-3（D）3（1997年安徽省竞赛试题）五、考虑数的性质若所给条件限制于整数、有理数，或涉及到质数，奇偶数，整除性等，把握住这方面的性质，有利于寻到突破口。方程与方程组一、一元一次方程与多元一次方程组；二、一元二次方程；三、可化为一元二次方程的方程；四、列方程组解应用题。考点：1.解含绝对值的方程2.利用含字母系数的一次方程求字母的值；3.含字母一元二次方程的整数根；4

6、.一元二次方程的根的相关问题；5.解高次方程；6.含字母无理方程的根的相关问题；7.方程（组）的实际应用；一、一元一次方程1.关于x的方程ax=b的解得情况：时，方程有唯一解；且时，方程有无穷多个解;且时，方程无解。2.关于x的方程的解得情况：时，；时，；时，方程无解。3.对于多元方程可以用消元法、参数法等；1.解方程组思路：两个方程消去x，可得：为了解y，需要去掉绝对值，所以需要明确绝对值里代数式的符号，即考虑y的范围，从而在每个范围中由式子解得y,从而解得x。2.已知关于x的方程，无论k为何值，总有根，求m,n的值。思路：方程总有

7、根表示满足方程，将-2代入方程并化简，可得有关k的一次方程，又因“无论k为何值”都成立，所以有关k的方程为0k=0解：将x=-2代入方程并化简为：因为对任何k都成立所以：解得：二、一元二次方程1.利用判别式判断一元二次方程有无实根；2.韦达定理；3.解一元二次方程的方法：求根公式（通用）;因式分解、开平方法、配方法（据方程的自身特点）；4.有理系数一元二次方程有整数根（有理根）则有判别式为一个完全开平方数。1.是否存在正整数m，使关于x的方程有整数根，若存在，请求出m的值。解2：2.已知方程，k为实数且，证明方程有两个实数根，其中一根

8、大于1，另一根小于1。思路1：证方程有实根，即证：；证两根为α、β，α>1，β<1，即α-1>0，β-1<0从而利用韦达定理证（α-1）（β-1）<0。思路2：直接将原方程转为，证两根之积小于0思路3：用图像法。解1（1