有趣的平方和等式.doc

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1、上海市顾路中学拓展型、探究型课程实施教案2014学年度第__1___学期课程名称有趣的平方和等式课时1课程类别执教教师周晶适用年级初二课程内容学习有趣的平方和等式课程目标1、理解有趣的平方和等式；2、会自己构建有趣的平方和等式；3、通过拓展的学习能够培养积极学习，努力思考的态度。课程实施32+42=52，102+112+122=132+142，212+222+232+242=252+262+272，……这些等式有趣吗？你看，每个等式的两端都是一串连续自然数的平方和，两端合起来仍是一串连续自然数的平方和。这种现象

2、遵循什么规律呢？也就是哪些自然数串有这样的关系呢？为了弄清楚这个问题，我们先来看几组乘法算式：1×3=3，1×5=5；2×5=10，2×7=14；3×7=21，3×9=27；……你仔细观察，会发现这些乘法算式有一定规律。首先同一组算式中的因数存在着联系，同一个算式中的两个因数有联系，比如第一组，3比1的2倍多1，5比1的2倍多3；第二组，5比2的2倍多1，7比2的2倍多3；……而且同组中一个算式的因数与另一个算式的因数也有联系，比如第一组两个算式中都有因数1，第二组都有2，第三组都有3，……其次各组算式的因数之

3、间也有联系，相邻的两组算式中也有相同的因数，比如第一、二组中都有5，第二、三组中都有7，第三、四组中都有9……研究这个规律有什么意义呢？先来看第一组两个算式的积3和5，从3到5有3个连续自然数3，4，5，且32+42=52；再看第二组从10到14这5个连续自然数的关系，102+112+122=132+142，第三组212+222+232+242=252+262+272，……这就是本文开头列举的等式。由每组乘法算式的积确定的自然数串，每串都有类似的关系，即每组从第一个算式的积起，到第二个算式的积止，都有一串连续自

4、然数，每一串连续自然数，都可以分成这样前后两部分：前一部分比后一部分多1个自然数，且前后两部分自然数的平方和相等。你可能已经发现，有这种关系的每一串连续自然数的个数也是由各组算式中的因数决定的，实际上就等于该组第一个算式的第二个因数。比如有一组算式是8×17和8×19，则从8×17的积到8×19的积这一串连续自然数就有17个，而这组中的相同因数8就是这串自然数后一部分的个数。各组两个算式中相同的因数还可以作为这组算式和由这组算式确定的自然数串的编号。掌握了这个规律，你就可以写出任一组算式确定的一串连续自然数，也

5、可以写出个数为任意奇数（1除外）的一串连续自然数，使按顺序分成前后两部分（前一部分比后一部分多1个自然数）后，这两部分自然数的平方和相等。有趣吗？试一下，你能写出第100组算式确定的那一串连续自然数吗？你能找出连续2001个自然数，使前1001个自然数的平方和与后1000个的平方和相等吗？相信你一定能成功！