3.5 角动量的本征值和本征态

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1、十一、密度算符与量子统计力学对完全随机的系综，密度矩阵在任何表象中均有：该ρ与纯系综的ρ很不相同。为定量表征不同系综的ρ，定义σ为：在ρ本征态为基矢时1)熵由于，σ是半正定的（σ≥0）。对完全随机系综对纯系综，σ=0可见σ可作为体系无序度的定量表征：纯系综完全有序，既无序度为零；随机系统完全无序，故σ是个大数。其实，在归一化限制下，ln(N)是σ的最大值。在热力学中，熵是度量无序度的。熵（S）与σ的关系为，S=kσ，k为Boltzmann常数。S=kσ可看作是量子统计力学中熵的定义。2)热平衡系综的密度矩

2、阵对具有确定[H]的系综,热平衡时σ取极大:δσ=0.因∂ρ/∂t=0,ρ与H可同时对角化,可用H的本征态为基.粒子的平均内能：[H]=Tr(ρH)=U由用Lagranger乘子法可得其解为，利用归一化条件有对应于能量本征态Ek的几率分布。上述体系对应于统计力学的正则系统，体系能量确定若对上述体系除去内能一定的限制，则得（对任意k）：ρkk=1/N对应于完全随机的系综，与β->0（即T∞）的正则系综分布相同3)配分函数ρkk的分母为是统计力学中的配分函数，可写为ρ在能量本征态基中可写为据此可得体系的所有

3、性质，对A=H，有与统计力学的对应知β=1/kT.§3.5角动量的本征值和本征态本节讨论一般的角动量的本征值和本征态，并给出角动量算符矩阵表示的矩阵元。一、对易关系和本征态角动量算符的基本对易关系为这里Ji是绕i轴无穷小转动的生成元。定义角动量的平方算符由角动量算符的基本对易关系可知J2与任何Ji对易。由于不同Ji不对易，只能选择某个Ji与J2的共同本征态为基，通常选J2与Jz的共同本征态。若用

4、a,b>标记该本征态，则有J2

5、a,b>=a

6、a,b>，Jz

7、a,b>=b

8、a,b>。二、阶梯算符定义:J±=

9、Jx±Jy,称为阶梯算符，或角动量的升（降）算符，是以前讲过的自旋升降算符在一般角动量情形的推广。J±是非厄米的。容易证明：由于J±

10、a,b>也是Jz的本征态，对应于本征值。既J±作用于Jz的本征态结果仍为Jz的本征态，但相应本征值增加。又由于J±与J2对易,J±不改变J2的本征值.即：J±

11、a,b>=c±

12、a,b>，c±由归一化条件确定。三、J2与Jz的本征值由于，Jx、Jy是厄米算符，其任意态的期待值为实数，故a-b2≥0对给定a,b有上限bmax和下限bmin,且J+

13、a,bmax>=0,J-

14、a

15、,bmin>=0.由得,类似有bmin=-bmax由bmin和bmax的唯一性知，J+作用于

16、a,bmin>有限次数应能达到

17、a,bmax>，故记Jz的最大本征值为,则j=n/2为整数或半整数，而J2的本征值为。Jz的本征值一般为，其中-j≤m≤j,共有2j+1个可能值-j,-j+1…，j-1,j。改记

18、a,b>为

19、j,m>，则上述推导只用了角动量对易关系，即角动量的量子化源于转动和角动量作为转动生成元的基本性质。四、角动量算符的矩阵元取

20、j,m>为归一化的，则因而故取c±为实数，有：类似地J±的矩阵元

21、为而由Jx=(J++J-)/2,Jy=(J+-J-)/2i可定出Jx和Jy的矩阵元五、转动算符的表示对绕转Φ角的转动R，转动算符的矩阵元为(D在不同j之间的矩阵元为零)这些矩阵元有时称Wigner函数。由形成的(2j+1)x(2j+1)矩阵称为D(R)的(2j+1)维的不可约表示。即对一般的转动，D可按不同j而成分块对角化形式,且每一块不可用任何基而进一步划分为更小的块对角化形式，即D(R)=,六、转动算符表示的一般性质1.由任一确定j所表征的转动矩阵形成一个群a)有单位矩阵（无转动），b)逆（绕同轴转-

22、Φ角），c)乘积也是成员，其中乘积R1R2表示单一转动；d)结合律也满足。2.幺正性：3.是

23、jm>经R转动后在

24、jm’>态中找到的几率振幅：七、Euler转动的转动算符矩阵表示对用Euler角表征的转动，有可见只要求出则可得到例如对j=1/2,对j=1，d(1)是3x3矩阵.利用Jy=(J+-J-)/2i及J±的矩阵元可知：可以验证：利用级数展开，可知从而得到类似方法可给出d(j>1)(β),只是过程比较复杂.下面将介绍简便获得d(j)的方法。