电动力学课后答案

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1、1.根据算符∇的微分性与矢量性推导下列公式rrrrrrrrrr∇(A⋅B)=B×(∇×A)+(B⋅∇)A+A×(∇×B)+(A⋅∇)Brr1rrrA×(∇×A)=∇A2−(A⋅∇)Avvv2vvvvvvv解1∇(A⋅B)=B×(∇×A)+(B⋅∇)A+A×(∇×B)+(A⋅∇)Bvv首先算符∇是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题∇将作用于A和B又∇是一个矢量算符vvv具有矢量的所有性质vvvvvvvv因此利用公式c×(a×b)=va⋅(cv⋅b)−(c⋅a)b可得上式其中右边前两项是∇作用于A后两项是∇作用于B2根据第一个公式令AB可得证2.设u是空间坐标xyz的

2、函数证明dfrr∇f(u)=∇urdArdAdu∇⋅A(u)=∇u⋅∇×A(u)=∇u×证明−−du−du1∇f(u)=∂f(u)er+∂f(u)er+∂f(u)er=df⋅∂uer+df⋅∂uer+df⋅∂uerdfuxyz∂xxyz=∇∂x∂y∂zdudu.∂ydu∂zdu2rrrrrrrr∂Ax(u)∂Ay(u)∂Azz(u)dAx(u)∂udAy(u)∂udAz(u)∂udA∇⋅A(u)=++=⋅+⋅+⋅=∇u⋅∂x∂y∂zdu∂xdu∂ydz∂zdurrr3eeexyzrrrrrrr∂∂∂∂Az∂Ayr∂Ax∂Azr∂Ay∂Axr∇×A(u)==(−)e+(−)e+(−)e

3、xyz∂x∂y∂z∂y∂z∂z∂x∂x∂yrrrAA(u)A(u)x(u)yzrrrrrrrdAz∂udAy∂urdAx∂udAz∂urdAy∂udAx∂urdA=(−)e+(−)e+(−)e=∇u×xyzdudu∂ydu∂zdu∂zdu∂xdu∂xdu∂y7有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球介质的电容率为ε使介质内均匀带静止自由电荷ρf求1空间各点的电场2极化体电荷和极化面电荷分布rr4π解1D⋅dS=ρdV,(r>r>r)233∫S∫f21即D⋅4πr=(r−r1)ρf333r(r−r1)ρfr∴E=3r,(r2>r>r1)3εrrrQf4π33r(r3−r3)r由∫E⋅d

4、S==(r2−r1)ρf,(r>r2)∴E=21ρr,(r>r)Sε3ε3f2r003ε0rr

5、(ε−ε0)ρfrr=r=03εr31ε09证明均匀介质内部的体极化电荷密度ρP总是等于体自由电荷密度ρf的−(1−)倍εrrrρfε0证明ρP=−∇⋅P=−∇⋅(ε−ε0)E=−(ε−ε0)∇⋅E=−(ε−ε0)=−(1−)ρfεε电动力学第页1兰老师3.设有无穷长的线电流I沿z轴流动以z<0空间充满磁导率为µ的均匀介质z>0区域为真空试用唯一性定理求磁感应强度B然后求出磁化电流分布rr2解本题的定解问题为∇A=−µJ,(z>0)10rr2∇A2=−µJ,(z<0)rrA=A12z=01r1r∇×A=∇×Arµ2z=0µ1z=0rrµIdl0A(x)=01∫由本题

6、具有轴对称性可得出两个泛定方程的特解为4πrrrrµIdlµ0IrA(x)=e,(z>0)2∫r2πrθ4πr由此可推测本题的可能解是B=µIre,(z<0)2πrθrrrrrrrrr验证边界条件1A1=A2z=0,即n⋅(B2−B1)=0题中n=ez,且ez⋅eθ=0所以边界条件1满足1r1rrrr2∇×A=∇×A,即n×(H−H)=02z=01z=021µµ0rBIr1H==e1θ本题中介质分界面上无自由电流密度又µ2πr0rrBIr2H==errrrr2µ2πrθ∴H−H=0,满足边界条件n×(H−H)=02121rµ0Ire,(z>0)rπθ2r综上所述由

7、唯一性定理可得本题有唯一解B=µIre,(z<0)2πrθrrrBrrBr在介质中H=−M故在z<0的介质中M=2−H2µµ00rIµrIrIµr即M=⋅e−e=(−1)eθθθ2πrµ2πr2πrµ00rrrIµrrIµr∴介质界面上的磁化电流密度αM=M×n=(−1)eθ×ez=(−1)er2πrµ2πrµ002πrrIµrrµ总的感应电流J=M⋅dl=(−1)e⋅r⋅dϕ⋅e=I(−1)电流在z<0的空间中沿z轴流向介质分界面M∫∫θθ2πr