《计算机辅助几何造型技术》3_815705192(1)

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1、第3章Bezier曲线与曲面曲线和曲面造型在CAD/CAM、机械设计、汽车和飞机制造等领域有着广泛的应用,是计算机图形学的重要研究内容之一。由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。半个世纪以来,曲线曲面造型技术的发展层出不穷。1962年,法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier将函数逼近同几何表示结合起来,构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法及其UNISURF曲线和曲面设计系统,使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。1972年,该系统被投入应用。1963年，美国波音(Boeing)公司的佛格森(Ferguson)

2、将曲线曲面表示成参数矢量形式。1964年，麻省理工学院(MIT)的孔斯(Coons)用封闭曲线的四条边界定义一块曲面。1964年,,舍恩伯格(Schoenberg)提出了参数样条曲线、曲面的定义。1972年，德布尔(()deBoor)给出了B样条的标准计算方法。1974年，通用汽车公司的戈登(Gordon)和里森费尔德(Riesenffld)eld)在B样条理论的基础上，提出了B样条曲线、曲面。1975年，美国的佛斯普里尔(Versprill)提出了有理B样条方法。80年代后期，美国的蒂勒(Tiller)和匈牙利人皮格尔(Piegl)对非均匀有理B样条(NURBS)

3、方法进行了广泛研究。3.1Bezier曲线3.1.1Bezier曲线的定义和性质1．定义给定空间n+1个点的位置矢量P（i=0，1，2，…，n），则iBezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：其中，P构成该Bezier曲线的特征多边形，B(t)是n次ii,nBernstein基函数：iinin!iniB(t)Ct(1t)t(1t),(i0,1,,n)i,nni!(ni)!其中规定：0!=1。下图所示是两条3次Bezier曲线的例子：PP1P23P1PP3P00P2三次Bezier曲线SomeBezierCurvesSomeBezierCurvesBez

4、ierBasisFunctionsforn=31.21B03B0,30.8B1,3060.6B2,3B3,30.40.202．BiBetnstein基函数的性质（1）正性0,t0,1Bi,n(t)0,t(0,1),i1,2,,n1;（2）端点性质1(i0)Bi,n(0)0otherwise1(in)Bi,n(1)（3）权性0otherwisenBi,n(t)1,t(0,1)i0nn由二项式定理可知：Bt()Cttii(1)ni[(1)]ttn1in,nii00（4）对称性B(t)B(t)i,n

5、ni,nnin(ni)niiini因为Bni,n(t)Cn[1(1t)](1t)Cnt(1t)Bi,n(1t)（5）递推性。B(t)(1t)B(t)tB(t)(i0,1,,n)i,ni,n1i1,n1即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成。因为，iiniii1iniB(t)Ct(1t)(CC)t(1t)i,nnn1n1ii(n1)ii1i1(n1)(i1)(1t)Ct(1t)tCt(1t)n1n1(1t)B(t)tB(t)i,n

6、1i1,n1（6）导函数B(t)n[B(t)B(t)],i0,1,,n;i,ni1,n1i,n1（7）最大值：B(t)在t=i/n处达到最大值。i,n（8）升阶公式i(1t)B(t)(1)B(t)i,ni,n1n1i1tB(t)B(t)i,ni1,n1n1ii1B(t)(1)B(t)B(t)i,ni,n1i1,n1n1n1（9）积分11B(t)dti,n0n1PP123．Bezier曲线的性质(1)端点性质P0P3a.）曲线端点的位置矢量由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=P；

7、当0t=1时，P(1)=P。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特n征多边形的起点、终点重合。b.）曲线端点的切矢量n1因为，P'(t)nPi[Bi1,n1(t)Bi,n1(t)]i0，所以当t=0和t=1时，有P´(0)=n(P-P)，10P´(1)=n(P-P)，nn-1这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。c.）二阶导矢当t=0和t=1时，有"P(0)n(n1)(P2PP)210"P(1)n(n