从数学角度探析音乐的规律性——以巴赫作品为例

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1、维普资讯http://www.cqvip.com6—38数学教学2008年第6期从数学角度探析音乐的规律性一以巴赫作品为例200062华东师范大学数学系2007级硕士研究生袁有雯243f作曲家拉莫说：“音乐是一种必须掌握一定规l28⋯⋯口do一、mi、律的科学，这些规律必须从明确的原则出发，而fa、SO、la、si(记作C、D、E、F、G、A、B)．这个原则没有数学的帮助就不可能进行．”这就是为什么基本音级的个数是7的原因了．众所周知，数学与音乐之间最明显的联系就这种生律法称为“五度相生律”，因为当频率是用阿拉伯数字l、2、3、4、5、6、7表示音符比是3：2时这两个音符之间的距离是5个音级．

2、2343d．o,re、m．、ta、so、，la、s．；用一一4、一4、一4、一8、之后，为了进一步优化音阶的高度差，人们又用相同的方法，将“五度相生律”循环l2次得到丢等分数表示拍号．但是数学对音乐的影响远不T12个音符f、r、r、止这些，可以说，数学创造了音乐．一、音符的选择r(≈面729r、兰r、r、r、人耳能听到的乐音音高是连续的，如果要将这些音全部演奏出来是不可能的，所以需要从其f、pC、8C、D、E、F、8F、中选出一些离散的音符作为基础，以供人们对音G、#G、A、#A、B．也就是现在钢琴键盘上的乐进行乐曲创作和表演．我们发现，人们通过循七个白键和五个黑键．环使用do、re、mi、f

3、a、SO、la、si这七个音符“五度相生律”第一次用数学的语言使音乐来表示所有的音高，那么为什么选择它们而不是体系规范化，建立起了系统的、逻辑的音乐理论其它音符呢?它们又是如何确定的?它们之间基础．的关系又如何?3．十二平均律1．音域的周期性因为音高和频率是正比的关系，所以两个音最早对乐音进行量化研究的是古希腊哲学之间的“高度”差决定于它们的频率比，由“五度家、数学家毕达哥拉斯．他发现，拨琴弦所发出相生律”得到的l2个音级之间的“高度”差是不统的声音与琴弦的长度有关，音高与弦长成反比．一的，如c～c的频率比是，而E～F的频率特别地，当这两根弦的长度是l：2时，它们所发比是丢．所以人们通过等距地

4、平分一个基本周出的声音是最和谐的．于是他就将这两个音之期来得到“高度”差统一的音级：间的距离定为一个基本周期(即一个八度)，只要构造一个正的等比数列{nn】．，n=0、l、2、在这个基本周期内选取一些适当的音符，就可以⋯、l2，使得ao=l且a12=2．易知公比q=通过不断循环这个周期，将整个音域中的其它乐．音表达出来．这样，便得到了l2个等距的音级f、2壶f、2．五度相生律2f、⋯、2茜f，它们的频率(近似值)分别是f、毕达哥拉斯通过在一个基本周期内连续使1．059f,1．122f、1．189f、1．260f,1．335f,1．414f,用比例3：2来制定音级．他选取了频率分别为f、1．49

5、8f、1．587f、1．682f、1．782f、1．888f．8f这就是我们现在使用的l2个音符．．、2鲁r、(姜)。r、(姜)3r、(姜)4r、(兰)r的用数学公式表示十二平均律乐音体系T即音高在基本周期内对应的音符f、吾f、f、言f、为T_-{c(n)In∈z]．，其中维普资讯http://www.cqvip.com2008年第6期数学教学6—39这些乐音相同频率的“谐波”尽量多．这样，和声f?，一0j的和谐程度就可以通过建立数学模型计算出来，c(n)={【#bc(礼一1)，n>0，即：已知Tn：n是和声中两音符的频率比，若c(礼+1)，礼<0．而c(n)：c(礼)=c(礼)：#c(礼)=

6、2一击，且“a”P={m，2m，⋯，cm)，Q=，2n，⋯，c礼)，表示频率为440Hz的乐音(标准音)．其中常数C为正整数．问Tn和n是什么关系时，十二平均律用精确的数学计算使每两个音IPnQI有最大值?阶之间的高度差都是定值，而且基本保留了五度通过穷举法知，除1：2外，当两音的频率比相生律中3：2的五度特性(1．498)~A及4：3的四是2：3时，这两个谐波列含有相同频率谐波的度特性(1．335)．可以说，十二平均律是音乐史上数量是最多的，频率比为3：4时次之．的里程碑．所以，在一个八度中do—do，do—SO，do二、和声的傅里叶分析—fa听起来是最“和谐”的．19世纪，数学家傅里叶的研

7、究将人们对音乐根据此数学模型，我们将两个音级之间的距的物理本质的认知推向了最高点．离，即音程按和谐度分为协和音程和不协和音程．我们从物理学中知道，一个音叉所发出的声协和音程：(1)极完全协和音程：纯一度(如do音，其图象就是一个正弦函数，如：—do)和纯八度(如do—do)．x(t1=0．001sin400~t．(2)完全协和音程：纯五度(如do—SO)和纯任何乐声的图象都是有规则的周期性图象，四