2021版高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例教学案理北师大版.doc

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1、第3讲　平面向量的数量积及应用举例一、知识梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直，记作a⊥b.2．平面向量的数量积定义已知两个向量a，b，它们的夹角为θ，把

2、a

3、

4、b

5、·cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b投影

6、a

7、cos__θ叫作向量a在b方向上的射影，

8、b

9、cos__θ叫作向量b在a方向上的射影几

10、何意义数量积a·b等于a的长度

11、a

12、与b在a方向上的射影

13、b

14、cos__θ的乘积或b的长度

15、b

16、与a在b方向上的射影

17、a

18、cos__θ的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模

19、a

20、＝

21、a

22、＝21夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0常用结论1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，

23、b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.二、教材衍化1．已知a·b＝－12，

24、a

25、＝4，a和b的夹角为135°，则

26、b

27、为(　　)A．12　　　B．6　　　　C．3　　　D．3解析：选B.a·b＝

28、a

29、

30、b

31、cos135°＝－12，所以

32、b

33、＝＝6.2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________．解析：因为2a

34、－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.答案：123．已知

35、a

36、＝5，

37、b

38、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的射影为________．解析：由数量积的定义知，b在a方向上的射影为

39、b

40、cosθ＝4×cos120°＝－2.答案：－2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)(2)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量．　(　　)(3)若a·b>0，则a和b

41、的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　　)(4)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)21答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×二、易错纠偏(1)没有找准向量的夹角致误；(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．1．已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________．解析：因为a，b＝b，c＝a，c＝120°，

42、a

43、＝

44、b

45、＝

46、c

47、＝1，所以a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－，所以a·b＋b·c＋

48、a·c＝－.答案：－2．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的射影为________．解析：＝(2，1)，＝(5，5)，由定义知，在方向上的射影为＝＝.答案：3．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.答案：　　　　　　平面向量数量积的运算(师生共研)(一题多解)如图，

49、在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·21＝2·，则·＝________．【解析】　法一：因为·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·.因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2

50、

51、＝

52、

53、·

54、

55、cos，化简得

56、

57、＝2.故·＝·(＋)＝

58、

59、2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12.法二：如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m＞0，n＞0，则由·＝2·，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故·＝(m，m)·

60、(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.【答案】　12平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝

61、a

62、

63、b

64、cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，