曲线和方程（二）.doc

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1、第七章　直线和圆的方程第十六课时§7.5.2　曲线和方程（二）教学目标（一）教学知识点根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤.（二）能力训练要求1．会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程.2．会判断曲线和方程的关系.（三）德育渗透目标1．提高学生的分析问题能力.2．提高学生的解决问题能力.3．培养学生的数学修养.3．增强学生的数学素质.教学重点求曲线方程的步骤：（1）依据题目特点，恰当选择坐标系；（2）用M（x，y）表示所求曲线上任意一点的坐标；（3）用坐标表示条件，列出方程F（x，y）＝0；（4）化方程F(x，y)＝0为最简形式；

2、（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.教学难点依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性.教学方法启发引导法启发引导学生利用曲线的方程、方程的曲线两个基本概念，借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y）所满足的方程f(x，y)＝0.表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.教具准备幻灯片两张第一张：记作§7.5.2　A　　　　　　　　　　第二张：记作§7.5.2　B教学过程Ⅰ．课题导入［师］上节课，咱们一起探讨了曲线的方程和方程的曲线的关

3、系，下面请一位同学叙述一下，大家一起来回顾.［生］（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（图形）.Ⅱ．讲授新课不难发现，利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)＝0表示曲线.那么我们就可以通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质.我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.当今，在数学中用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门

4、学科，它就是解析几何.所以说，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.它主要研究的是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.［师］下面我们首先讨论求曲线的方程.［例2］设A、B两点的坐标是（－1，－1），（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.分析：线段AB的垂直平分线上的任一点M应满足条件｜MA｜＝｜MB｜.（打出幻灯片§7.5.2　A）解：（1）设M（x，y）是线段AB的垂直平分线上任意一点，则｜MA｜＝｜MB｜.即整理，得x＋2y－7＝0.①由此可知，垂直平分线上每一点的坐

5、标都是方程①的解；（2）设点M1的坐标（x1，y1）是方程①的解，即x1＋2y1－7＝0，x1＝7－2y1，点M1到A、B的距离分别是∴｜M1A

6、＝｜M1B｜.即点M1在线段AB的垂直平分线上.由（1）、（2）可知，方程①是线段AB的垂直平分线的方程.［例3］点M与互相垂直的直线的距离的积是常数k(k＞0)，求点M的轨迹.分析：应建立适当的坐标系，不妨就取互相垂直的直线为坐标轴.解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系.（打出幻灯片§7.5.2　B）设点M的坐标为（x，y），点M的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数k的

7、点的集合：P＝{M

8、

9、MR

10、·

11、MQ

12、＝k}，（其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足）因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，∴

13、x

14、·

15、y

16、＝k，即x·y＝±k.①（1）由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解：（2）设点M1的坐标（x1，y1）是方程①的解，那么x1y1＝±k，即

17、x

18、·

19、y

20、＝k.而

21、x

22、、

23、y

24、正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点：由（1）、（2）可知，方程①是所求轨迹的方程.下面，请同学们打开课本P72.Ⅲ．课堂练

25、习［生］（板演练习）练习1、2.［生甲］1．解：设点M（x，y）是到坐标原点的距离等于2的任意一点，则点M属于集合P＝{M

26、

27、OM

28、＝2}，∴即x2＋y2＝4.①（1）由求方程的过程可知，到坐标原点的距离等于2的点M的坐标都是方程x2＋y2＝4的解.（2）设点M1的坐标（x1，y1）是方程①的解，即＝4，整理得点M1到坐标原点的距离为∴M1到坐标原点的距离为2，也就是说以方程的解为坐标的点到坐标原点的距离为2.由（1）、（2）可知，方程x2＋y2＝4是到坐标原点的距离等于2的点的轨迹方程.［生乙］2．解：设点M的坐标为（x，y）则

29、，点M属于集合：P＝{M

30、

31、y

32、＝

33、MF

34、}，即，整理，得x2－8y＋16＝0.（1）由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；（2）过点M1的坐标（x1，y1）是方程①的解，那么，而｜y1

35、正是点M1到x轴的距离，正是点M1到点F（0，