高考中用导数求解有关不等式的三类问题.doc

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1、高考中用导数解决有关不等式的三类综合问题导数是研究函数性质的一种重要工具，例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求极大(小)值、求函数的值域等等.而在处理有关不等式的综合性问题时往往需要利用函数的性质。因此，很多时侯可以利用导数作为工具去研究函数的性质，从而解决很多不等式问题.下面结合近几年高考试题具体讨论导数在解决与不等式有关的三类综合问题时的作用.一、利用导数解决不等式恒成立问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为(或)恒成立，于是大于的最大值（或小于的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题.因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一

2、种重要方法.2014年江西高考数学理第18题：已知函数（）在区间上单调递增，求的取值范围.解析：，因为时依题意有，时有，从而时，，有时，不等式的恒成立问题，依托三次函数的导数是二次函数，要求我们转化与划归，去具体研究二次函数的图像与性质。2009年宁夏海南数学文：已知函数，若，且当时，恒成立，试确定实数的取值范围.解析：的图像是一条开口向上的抛物线，关于对称.若上是增函数，从而上的最小值是最大值是由于是有4由所以若,则不恒成立.所以使恒成立的实数的取值范围是二、利用导数证明不等式（一）利用导数得出函数单调性后，证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调

3、递增（或递减）.高考中，在证明不等式时，根据不等式的特点，常常把不等式通过移项，适当变形，让不等号一端变为0后，把另一端构造成一个新函数,用导数研究该函数的单调性,再用函数单调性达到证明不等式的目的.2013年辽宁高考数学理第21题：已知函数，当时，求证：解析：要证时，，只需证明.记，则，当时，，因此在上是增函数，故.所以时，．要证时，，只需证明.记，则，当时，，因此在上是增函数，故.所以时，，．综上，时，．当待证明的不等式中变量较多时，往往把其中一个作为主要的变量，其他的视作4常量处理，去构造辅助函数处理，易于打开解题突破口.2004年全国高考数学理压轴题：已知,,证明：证明：，，设，则，当

4、时，因此在内为减函数当时，因此在上为增函数从而，当时，有极小值因为,,所以,即.设,则当时,,因此在上为减函数，因为,,所以.即（二）利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式.导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.2013年课标全国Ⅱ高考数学理第21题：已知函数，当时，证明:.解析：当，时，，故只需证明当时，.当时，函数在单调递增．又，故在有唯一实根，且．当时，；当时，，从而当时，取得最小值．4由得＝，，故综

5、上，当时，.三、利用导数解不等式一旦运用导数得到具体或抽象函数的单调性，再利用单调性的定义，结合函数值的大小关系，就可以得到自变量的大小关系，使得目标不等式获解。2011年辽宁高考数学理第11题：已知函数的定义域为，,对于任意，，则不等式的解集为（）A.B.（-1，+∞）C.(-∞,-1)D.（-∞，+∞）解析：结合目标不等式的特征，构造函数，则由已知，任意，，时，在上递增又，由即得.故选总之，无论是证明不等式，还是解不等式，亦或研究含有参数的不等式恒成立（或有解问题），只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决.这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体

6、现.2014.104