一题多解突破无棱二面角的求法.doc

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1、一题多解突破无棱二面角的求法例：已知△ABC所在平面与直角梯形ACEF所在平面垂直，AF⊥AC,EB⊥AB,AF∥CE,AB=BC=CE=2AF=2,O为AC中点。如下图1﹙1﹚求证：面OBE⊥面ACEF﹙2﹚求面EFB与面ABC所成二面角的大小图2BCEFOA图1BMOCAFEH图2解法一：（1）在△ABC中，AB=BC,O为AC中点，∴OB⊥AC。∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，OB平面ABC，∴OB⊥平面ACEF，又OB平面OBE，∴面OBE⊥面ACEF(2)延长EF交CA的延长线于点M，连接BM，则面EFB

2、∩面ABC=BM，作AH⊥BM于H，连接HF，∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，AF⊥AC,∴AF⊥平面ABC，由三垂线定理得FH⊥BM，因此∠FHA为面EFB与面ABC所成二面角的平面角。如图2。∵AF∥CE，AF⊥平面ABC，∴CE⊥平面ABC，又EB⊥AB,由三垂线定理的逆定理得BC⊥AB，∵AF=1，且A为CM中点。在△MBO中，MO=3，OB=，所以MB==2，Rt△MAH∽Rt△MBO,所以=，即AH===。在△FAH中，tan∠FHA===，所以面EFB与面ABC所成二面角的大小为arctan。点评：此

3、解法是最常用的找另一个公共点做棱，然后利用三垂线定理作出二面角的平面角。因为题设条件中面EFB与面ABC有一个公共点B，根据公理2，它们还有其他的公共点，且公共点的集合是一条直线。又因为除共点B外，面EFB内的点E、点F与面ABC内的点A、点B同在平面ACEF内，且直线AC与直线EF不平行，由公理3的推论可知，它们一定相交，因此找到面EFB与面ABC的另一个公共点M，得到棱BM，所以才有了以上的解题的思路与过程。其他解法：求无棱二面角的关键是作出棱，根据面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两

4、个平面平行。把其中的一个半平面平移，与另一个半平面相交，交线即棱。解法二：平移半平面EFB，如图3BACEOPRQG图3F解析：在平面ABC内过点B作直线BP，使BP∥AC，且BP=AC，连接CP。取CE中点Q，连接FQ，PQ，则FQ∥BP，且FQ=BP。故四边形FBPQ为平行四边形，∴FB∥QP。取BC中点R，连接QR，则QR∥BE，故面QRP∥面EFB，所以面QRP与面ABC所成二面角即面EFB与面ABC所成二面角，显然面QRP∩面ABC=RP，过点C作直线CG⊥RP，垂足为G，连接QG。∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACE

5、F=AC，AF⊥AC,∴AF⊥平面ABC，又∵AF∥CE，∴CE⊥平面ABC，由三垂线定理的定理得QG⊥RP，因此∠QGC为面QRP与面ABC所成二面角的平面角即面EFB与面ABC所成二面角的大小。∵CE⊥平面ABC，EB⊥AB，由三垂线定理的逆定理得BC⊥AB，由以上证明可得：在△RCP中，∠RCP=∠ABC=，CR=BC=1，CP=AB=2，∴RP===，CG=，在Rt△QCG中，tan∠QGC===，∴∠QGC=arctan。所以面EFB与面ABC所成二面角的大小为arctan。解法三：平移半平面ABC，如图4C图4OQNEAFBW解析：

6、取CE中点Q，连接FQ，取BE中点N，连接FN，NQ，则FQ∥AC，NQ∥BC，∴面FNQ∥面ABC，故∴面FNQ与面ABC所成二面角即面EFB与面ABC所成二面角，显然面FNQ∩面ABC=FN，过点Q作QW⊥FN，垂足为W，连接EW。∵平面ABC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF=AC，AF⊥AC,∴AF⊥平面ABC，又∵AF∥CE，∴CE⊥平面ABC，由三垂线定理的定理得EW⊥FN，因此∠EWQ为面FNQ与面ABC所成二面角的平面角即面EFB与面ABC所成二面角的大小。∵CE⊥平面ABC，EB⊥AB，由三垂线定理的逆定理得BC⊥AB

7、，由以上证明可得：在△FNQ中，FQ=AC=2，NQ=BC=1，∠FQN=∠ACB=，由余弦定理得：FN===，由面积相等得：×FQQNsin=×FNQW，即：×2×1×=×QW，∴QW=。在Rt△EWQ中，tan∠EWQ===，∴∠EWQ=arctan。所以面EFB与面ABC所成二面角的大小为arctan。解法四：此题还可以用空间向量来完成，利用法向量求二面角，理由如下：设,分别是二面角α—l—β的两个半平面α、β的法向量，则二面角α—l—β的平面角大小θ＝〈或θ＝π－。当,同时指向二面角内侧或外侧时，θ＝π－，如图５。当,分别指向二面角的内

8、侧与外侧时，θ＝，如图６。βαl〈，〉θAB如图５βαl〈，〉θAB如图５βαlBAθ如图６解析：由（1）知，OB⊥平面ACEF，故以O为原点，建立空