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1、数列练习题（1）1.已知首项为正数的等差数列｛an｝满足:a2005+a2006>0,a2005·a2006<0,则使前项Sn>0成立的最大自然数是（）A.4009B.4010C.4011D.4012解法1：由题意知:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始为负数,S4010=2005(a1+a4010)=2005(a2005+a2006)>0,S4011==4011a2006<0,故n的最大值为4010.解法2:由题意可得:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始是负数,则所有
2、的正项的和为Sn的最大值,即当n=2005时,取得最大值,显然Sn是关于n的缺常数项的二次函数,且开口向下,所以第2005项离对称轴最近,故其对称轴介于2005到2005.5之间,又因为二次函数的图象与x轴的一个交点是(0,0),设另一个交点(x,0),x应介于4010到4011之间.所以使Sn>0的最大自然数是4010,故选B.本小题结论可以推广成一般结论:等差数列中,a1>0,ak+ak+1>0,且akak+1<0,则使前n项和Sn>0的最大自然数n是2k..2.设数列的前项和为，关于数列有下列三个命题：①若数列既是等
3、差数列又是等比数列，则；②若，则数列是等差数列；③若，则数列是等比数列.这些命题中，真命题的个数是（D）A．0B．1C．2D．3①不妨设数列的前三项为，则其又成等比数列，故，∴，即；②由的公式，可求出，故是等差数列；③由可求由，故数列是等比数列.故选.3.等差数列的公差且，则数列的前项和取得最大值时的项数是（）A．5B．6C．5或6D．6或7由，知.∴，故选C．4.在数列{an}中，a1=2,an+1=＞0，则a2008=()A.B.C.D.由an+1=-为等差数列，且公差为1，首项为0，则.5．由函数确定数列，,若函数的
4、反函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”．（1）若函数确定数列的反数列为，求；（2）设，数列与其反数列的公共项组成的数列为（公共项为正整数）．求数列前10项和；（3）对（1）中，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的范围．[解]（1）（）（为正整数），（）19所以数列的反数列的通项（为正整数）。（2），，则，有，所以的前项和（3）对于（1）中，不等式化为：对任意正整数恒成立。设，，数列单调递增，所以，要使不等式恒成立，只要∵，∴，，所以，使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是：6.(1)已知正项数列{an}，其前n
5、项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an.解:∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)．当a1=3时，a3=13，a15=73．a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时，a3=12，a1
6、5=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3．(2)已知数列的首项，，．求的通项公式；，，，又，是以为首项，为公比的等比数列．，．（3）（2008陕西）已知数列的首项，，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）数列的前项和．解：（Ⅰ），，，又，，数列是以为首项，为公比的等比数列．19（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．设…，①则…，②由①②得…，．又…．数列的前项和．7.(2009全国卷Ⅰ理)在数列中，（I）设，求数列的通项公式，（II）求数列的前项和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式:()（II）由
7、（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得=8.(2009山东卷文)等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记，求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,所以（2）当b=2时，,19则相减,得所以9.（2008全国II）设数列的前项和为．已知，，．（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，求的取值范围．（Ⅰ）依题意，，即，由此得．因此，所求通项公式为，．①（Ⅱ）由①
8、知，，于是，当时，，，当时，．又．综上，所求的的取值范围是．设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。（I）求数列与数列的通项公式；（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；解：（I）当
