一类高阶微分方程的通积分求解方法.pdf

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1、第26卷第l期五邑大学学报(自然科学版)Vl01．26No．12012年2月JOURNALOFWUYIUNIVERSITY(NaturalScienceEdition)Feb．20l2文章编号：1006．7302(2012)01．0025-06一类高阶微分方程的通积分求解方法薛婷婷，刘文斌(中国矿业大学理学院。江苏徐州221008)摘要：采用函数的迭代方法，将一类高阶微分方程的通积分求解转化为微分方程组的求解，应用克莱姆法则及积分法，求得原微分方程的通积分公式，推广了有关文献的结果．关键词：高阶微分方程；函数迭代法；克莱姆法则；通积分公

2、式中图分类号：Ol75．8文献标志码：AAKindofGeneralIntegralSolutionforHigherOrderDifferentialEquationsXUETing-ting，LIUWen-bin(CollegeofSciences，ChinaUniversityofMiningandTechnology，Xuzhou221008，China)Abstract：Thispaper，adoptingthemethodoffunctioniteration，translatesakindofgeneralintegral

3、solutionforhigherorderdifferentialequationsintothesolutionfordifferentialequations，appliestheCramerlawandtheintegralmethodoforiginaldifferentialequationstoobtaingeneralintegralformulas，andpopularizestherelevantliteratureresults．Keywords：higherorderdifferentialequations；m

4、ethodoffunctioniteration；Cramerlaw；generalintegralformulas由于大邵分微分方程求不出兵解析解，因此对一些特殊方程求解方法的研究是人们关注的重点，本文研究高阶微分方程L(x)A()+(())(())+Ⅳ(())((x))+E(())(())=()通积分求解方法．此类方程研究历史久远，早在194。年，已有人研究了微分方程厂()=厂)的可积性；1942年，又有人研究了厂()=fI÷l的可积性；1965年，Utz研究了fX)=oi(g(x))的可积性；1982年，杨安洲等川研究了微分方程(

5、)=f1十B的可积性；1992年，汤光宋研究了高阶微分方程厂(^’(x)=(’f—ax+_b1的可积性，并予1994年在《常微分方程专题研究》例中，对CX+a／该方程的可积性进行了总结；2000年，梁刚等研究了常系数高阶微分方程Lf((x)+Mf‘((x))+(())()的通积分；最近，甘欣荣研究了方程(f)厂‘H(f)+(f)‘H(詈)y(f)的通积收稿日期：2011-05-20基金项目：中央高校理科专项基金资助项目(2010LKSX09)作者简介：薛婷婷(1987一)。女，江苏盐城人，在读硕士生。研究方向为微分方程边值问题五邑大学学

6、报(自然科学版)2012矩分．本文在文献【4．7】的基础上，继续研究高阶微分方程的可解性，在求解微分方程时，通过让系数的自变量和函数的自变量保持一致【引，然后进行多次迭代，把求解高阶微分方程转化为求解微分方程组，再应用克莱姆法则及积分法，求得原微分方程的通积分公式，从而得到一类高阶微分方程的通积分求解方法，并进一步拓宽微分方程解的范围．1预备引理引理【9-l0已知()=ax+b，≠一旦，口、b、口、d为常数，c≠0，ad—bc≠0，1)若口+=o，则()=，仍()(())=；2)若a+d+ad+bc=0，贝0(==(a2+b丽c)x+b

7、(a+d)伤()=((()))=；3)若a十d-I-2bc=0，则==伤=(cc))=毒S{丢≠，()=((((x))))=以此类推。由引理的结论可以证明：当口、b、c、c，满足某种条件时，(x)，(x)，(x)，⋯，一()皆不等于而(X)=x，其中()=(一，())．2主要结论定理假设厂∈c，厶，Ⅳ，E，，，∈c，()=等，≠一d，口、6、c、为常数，c≠0，ad—bc≠0，，，为正整数，约定。)=厂，而且a+d。+2bc=0，其中L(x)(())Ⅳ(仍())E(仍(x))E(x)(())(仍())Ⅳ(仍())D=≠0。N(x)E((

8、))三(())(仍())M(x)Ⅳ(())(())三(仍())则高阶微分方程￡()厂(()+(())厂‘(())+Ⅳ(())厂‘(())+E(伤())厂‘’(())=r(x)(1)可积，其通积分为第26卷第