7-5离散系统的稳定性和稳态误差

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1、7-5离散系统的稳定性和稳态误差烟台大学光电学院采样信号取拉普拉斯变换：令：7.5.1s域到z域的映射所以，s域到z域的基本映射关系式为：取s平面虚轴，当ω从－∞～+∞变化时，映射到z平面的轨迹是以原点为圆心的单位圆。1.等σ线映射s平面上的等σ垂线，映射到z平面上的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆，其中T为采样周期。s左半平面上的等σ线映射为z平面单位圆内的同心圆；s右半平面上的等σ线映射为z平面单位圆外的同心圆。2.等ω线映射s平面上的等ω垂线，映射到z平面上的轨迹是以原点出发的射线，相角为3.等线映射除β

2、等于0°和90°外，当β为常数时，左半s平面的等z线映射为z平面上单位圆内一簇收敛的对数螺旋线，其起点为(1,j0)处，终点为z平面原点。7.5.2离散系统稳定的充要条件定义：若离散系统在有界输入序列作用下，其输出也是有界的，则称该离散系统是稳定的。(1)时域中离散系统稳定的充要条件设系统差分方程为：当且仅当差分方程的特征根的模均小于1时，对应的线性定常系统是稳定的。(2)z域中离散系统稳定的充要条件当且仅当离散特征方程的特征根的模均小于1时(全部特征根均位于单位圆内时)，对应的线性定常系统是稳定的。例7-26

3、设离散系统如图所示，试确定系统稳定性。解：系统开环脉冲传递函数为：系统特征方程为：所以离散系统不稳定。7.5.3离散系统稳定判据连续系统稳定性判断实质是判断系统极点是否都位于s左半平面。离散系统中稳定性判断实质是判断系统极点是否都位于z平面单位圆内。因此劳斯判据不能直接用于离散系统中，引入双线性变换(w变换)令复变量：z=x+jyw=u+jv代入系统特征方程，则离散系统稳定的充要条件为系统特征方程的根均在w左半平面，可直接利用劳斯判据。对于w平面上的虚轴,实部u=0,即x2+y2-1=0这就是z平面上以坐标原点

4、为圆心的单位圆的方程。单位圆内x2+y2＜1,对应于w平面上u为负数的虚轴左半部;单位圆外x2+y2＞1,对应于w平面上u为正数的虚轴右半部。例7-26设闭环离散系统如图所示，其中采样周期为T=0.1s，试确定系统稳定时K的临界值。解：系统开环脉冲传递函数为：闭环系统特征方程为：所以系统稳定，需7.5.4采样周期与开环增益对稳定性的影响例：判断图所示系统在采样周期T＝1s时和T＝4s时，系统的稳定性。解:开环脉冲传递函数为闭环传递函数为闭环系统的特征方程为即z2+(T-2)z+1-Te-T=0当T=1s时,系统

5、的特征方程为z2-z+0.632=0因为方程是二阶,故直接解得极点为z1,2=0.5±j0.618。由于极点都在单位圆内,所以系统稳定。当T=4s时,系统的特征方程为z2+2z+0.927=0解得极点为z1=-0.73,z2=-1.27。有一个极点在单位圆外,所以系统不稳定。从这个例子可以看出,一个原来稳定的系统,如果加长采样周期,超过一定程度后,系统就会不稳定。通常,T越大,系统的稳定性就越差。(1)当采样周期一定时，加大开环增益会使离散系统的稳定性变差，甚至使系统变的不稳定；(2)当开环增益一定时，采样

6、周期越长，丢失的信息越多，对离散系统的稳定性及动态性能均不利，甚至可使系统丢失稳定性。7.5.5离散系统的稳态误差7.5.5离散系统的稳态误差当系统稳定时，由终值定理得：v——系统型别，0型、Ⅰ型、Ⅱ型……其中：1.单位阶跃输入时对0型系统：对Ⅰ型系统：对Ⅱ型及以上系统：0型系统在单位阶跃信号作用下存在位置误差，I型及以上系统在单位阶跃信号作用下不存在稳态误差。7.5.6离散系统型别与静态误差系数2.单位斜坡输入时对0型系统：对Ⅰ型系统：对Ⅱ型及以上系统：0型系统不能承受单位斜坡信号作用，I型系统在单位斜坡信号

7、作用下存在速度误差，II型及以上系统在单位斜坡作用下不存在稳态误差。3.单位加速度输入时对0型系统：对Ⅰ型系统：对Ⅱ型及以上系统：在单位加速度信号作用下，0型及I型系统不能承受单位加速度信号作用，II型系统存在加速度误差。III型及以上系统不存在稳态误差单位反馈离散系统的稳态误差系统型别位置误差速度误差加速度误差0∞∞I0∞II00III000