[初二]竞赛专题选讲之——分式.doc

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1、初中数学竞赛专题选讲分式一、内容提要1.除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。(1)分式中,当B≠0时有意义;当A、B同号时值为正,异号时值为负,反过来也成立。分子、分母都化为积的形式时,分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。(2)若A、B及都是整数,那么A是B的倍数,B是A的约数。(3)一切有理数可用来表示,其中A是整数,B是正整数,且A、B互质。2.分式的运算及恒等变形有一些特殊题型,要用特殊方法解答方便。二、例题例1.x取什么值时,分式的值是零?是正数?是负数?30-1-2解:=以零点-2,-1,0,3

2、把全体实数分为五个区间,标在数轴上(如上图)当x=-1,x=3时分子是0,分母不等于0,这时分式的值是零;当x<-2,-13时,分式的值是正数(∵负因数的个数是偶数)当-2

3、①a∶b∶c②解:设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加得2(a+b+c)=12k,即a+b+c=6k,分别减上列各式得a=2k,b=k,c=3k∴①a∶b∶c=2∶1∶3②==例5.一个两位数除以它的两个数位上的数字和,要使商为最小值,求这个两位数;如果要使商为最大值呢?解:设这个两位数为10x+y,那么0<x≤9,  0≤y≤9 =1+当x取最小值1,y取最大值9时,分式的值最小;当x取最大值9,y取最小值0时,分式的值最大。答:商为最小值时的两位数是19,商为最大值时的两位数是90。三、练习51.a=___时,分式的值是02

4、.已知则分式=____3.若x和分式都是整数,那么x=_______________4.直接写出结果:①x=(x+)-______②(x2++2)÷(x+=____③(x2-)÷(x+)=____ ④(1+(1-=____5.化简繁分式,并指出字母x取什么值时它没有意义。6.x取什么值时分式的值是零?是正数?是负数?7.计算:①+ ② ③8.解方程:  5⑶(其中9.已知xy∶yz∶zx=3∶2∶1,求①x∶y∶z  ②  ∶10.已知a≠b≠c且   求证:ax+by+cz=011.已知:  求:(x+y)∶z的值12.由三个非零且相异的数字组

5、成的三位数,除以这三个数字和,其商的最小值是多少?13.在保证分母不等于0的前提下,分式中的x不论取什么值分式的值都不变,问a和b之间的关糸应满足什么条件?14. 已知 求证:(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)=(am+bn+cp)2练习题参考答案1. -2  2. -1  3. 2,0,6,-44. ①1+  ② x+  ③-2  ④-3(x+)⑤1+  ⑥-(x+)5.x=-1,-2,-1.5时没有意义6.仿例1,四个零点-3,-1,2,3把实数分为五个区间7.①  ②   ③    55.①x=-7 ②x=-1  6.9.①3∶6∶2

6、 ②0.2510.设各比的比值为k11.2或-1  12. 10.5(x=1,y=8,z=9)13.5a=3b14.设比的比值为k,分别证明左,右两边都等于k2(m2+n2+p2)25

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