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1、第39卷第3期西南师范大学学报(自然科学版)2014年3月Vol.39No.3JournalofSouthwestChinaNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Mar.2014文章编号:10005471(2014)3004504①Iε类半无限规划的最优性条件杨勇陕西科技大学理学院,西安710021摘要:主要研究了一类非光滑半无限规划问题,基于对称梯度,首次引入了Is类凸、拟Is类凸、伪Is类等新广义凸性概念,研究涉及这类函数的一类半无限规划的最优性,得到
2、一些最优性的充分条件.关键词:Is类凸;拟Is类凸;伪Is类凸;最优性;半无限规划中图分类号:O221.2文献标志码:A凸函数在最优化理论、工程、经济和管理科学领域中扮演着重要的角色,凸性研究和广义凸性的研究[1]已经成为一个重要的研究领域.Hanson和Mond首次将不变凸函数推广为I类和II类广义凸性,并将其[2-3]应用于非线性规划、半无限规划等各类规划问题.随后,这两类函数又被进一步推广和应用.受这些文献启发,本文首次引入Is类、拟Is类和伪Is类等广义凸性概念,并在这些广义凸性假设下,
3、研究下列半无限规划问题minf(x)(SIP){0n,u∈Us.tg(x,u)≤0,x∈X⊂R其中U⊆Rm是一个无限参数集.记I(x)={ig(x,ui)=0,x∈X0n,ui⊂R∈U},Ω=*i0i)≤0,ui{λiλi≥0,i∈Δ,仅有有限个λi≠0},U={u∈Ux∈X,g(x,u∈U,i∈Δ}为U的任意可数子集,Δ={i
4、g(x,ui)≤0,x∈X0,uii)≤0,x∈X0,uim},∈U},X={x
5、g(x,u∈U⊆R00g:X×U→R,f:X→R是对称可微函数.定义1[4]0,若存在
6、线性算子fs:Rn→n,使得对于充分小的h∈Rn,有设x∈XRTs(x)+α(x,h)‖h‖f(x+h)-f(x-h)=2hf其中α(x,h)∈R1,且有lims(x)为f在x点处的α(x,h)=0,则称f在x点处是对称可微的,并称f‖h‖→0对称梯度.如果f在X0中的任意一点都是对称可微的,则称f在X0上是对称可微的.对称梯度有许多类似于梯度的性质,利用对称梯度来研究和推广凸性函数具有非常重要的意义.因此,本文利用对称梯度,首次给出下列新的广义凸性函数.为了方便起见,在下文中总假设f:X0→R
7、是对称可微的,g:X0×U→R对于∀u∈U关于x是对称可微函数.定义2称(f,g)在u∈X0处是I类凸的,若对∀x∈X0,∀ε,ε,存在正实值函数α,:X0si>0βi×0+00n,使得X→R{0}及向量函数η:X×X→RTs(u)+ε,-g(u,ui)≥(x,u)(x,u)Ts(u,ui)+εf(x)-f(u)≥α(x,u)η(x,u)fβiηgi若(f,g)在X0中的任意一点都是I类凸的,则称(f,g)在X0上是I类凸的.若当x≠u时,第一个不ss①收稿日期:20130725基金项目:陕西
8、省教育厅自然科学基金资助项目(11JK0488);陕西科技大学自然科学基金资助项目(2012SB013).作者简介:杨勇(1977),男,陕西山阳人,讲师,主要从事最优化理论与应用方面的研究.2西南师范大学学报(自然科学版)http://xbbjb.swu.cn第39卷等式是严格不等式,则称(f,g)在u∈X0处或者在X0上是半严格I类凸的.s定义3称(f,g)在u∈X0处是拟I类凸的,若对∀x∈X0,∀ε>0,ε及一些λ,存在si>0i∈Ω正实值函数α,β:X00+00n,使得i×X→R{0
9、}及向量函数η:X×X→RTs(u)+ε≤0α(x,u)(f(x)-f(u))≤0⇒η(x,u)f{λi)≥0⇒Ts(u,ui)+0∑iβi(x,u)g(u,u∑λiη(x,u)g∑λiεi≤iii若(f,g)在X0中的任意一点都是拟I类凸的,则称(f,g)在X0上是拟I类凸的.若当x≠u时,第一ss个公式中的第二个不等式是严格的,则称(f,g)是半严格拟Is类凸的.定义4称(f,g)在u∈X0处是伪I类凸的,若对∀x∈X0,∀ε>0,ε及一些λ,存在si>0i∈Ω正实值函数α,β:X00+00
10、n,使得i×X→R{0}及向量函数η:X×X→R(x,u)Ts(u)+ε≥0⇒α(x,u)(f(x)-f(u))≥0ηf{Ts(u,ui)+i)≤0∑λiη(x,u)g∑λiεi≥0⇒∑λiβi(x,u)g(u,uiii若(f,g)在X0中的任意一点都是伪I类凸的,则称(f,g)在X0上是伪I类凸的.若当x≠u时,第二ss个公式中的第二个不等式是严格的,则称(f,g)是半严格伪Is类凸的.定义5称(f,g)在u∈X0处是拟伪I类凸的,若对∀x∈X0,∀ε>0,ε及一些λ,存si>0i∈Ω在正实
