Besov空间函数的等价性描述.pdf

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1、学术论坛SCIENCE＆TECHNOL0GYBesov空间函数的等价性描述①刘兴薇汪成咏(内蒙古科技大学数理与生物工程学院内蒙古包头014010)摘要：本文从研究Besov空间中函数的逼近入手，用多分辨率分析构造逼近的性能，恰当地找到了Besov空间中函数的等价性描述和模的等价形式，这一结论成为我们深入刻画函数空间的又一有效工具。关键词：多分辨率分析Besov空间分布模中图分类号：O174．4I文献标识码：A文章编号：1672—3791(2013)12(c)一0229—02为7便于讨论，我们先给出

2、建立在函数，’分解基础上的Besov)的一个r正则多分辨率率分析，对于厂，有以下分解：空间的等价性定义。函数l厂等价于l厂()=∑()，其中是指_厂=／70(f)+∑D，(_厂)=U数型函数并且满足l142且∑s<。。。‘k=O其中～IFo(f)l+()这一定义的优势在于可以用函数的小波分解的方法来刻划Ik=0从r正则多分辨率的定义，有Eo(_厂)∈Lp(R)，从而Besov~间的特性。令是”)的一个r正则多分辨率分(，一△)(_厂)∈()。根据Berstein不等式，我们有：析，是一个足够大的整

3、数。定义E，是)到上的正交投影(I-A)gE算子，是在+。中的正交补，定义是L2(R)在上的正交o(f)Jf．-~clI投影算子，于是不难得到D，=『+】一E，。从而得知f∈；当且仅及当：_厂=(_厂)+∑／=0Dj(_厂)f}c，一c厂Jc2I1c／Is2一(P)从上述不等式立即得到：其中Eo(f)∈Lp(R)，(‘厂))且满足lID,(T)Is，2～，f]。o及fJc，一；c。c-厂If≤c羔s，z(p)(s]j=o因此(一△)j_厂LP(R)并且：I~o(s)ll+f=0『1从上述等价性特征

4、的描述，我们很自然能得到负指数Besov空间的定义。令_厂是一个分布，S<0，如果l厂有满足式(2)的分解(1)，及(，一△)f=(，一△)(1厂)+∑(，一△)Ds(f)。我们称_厂∈曰s。其中1≤P，0≤OOI~tBesov范数由式(2)定义。很容易根据Berstein不等式有：证明，当1≤P，0≤。。时：()=’(3)0<~(／-A)gl

5、题，主要结论如下。。定理令s≠0且k，P∈Z满足一1>S—P>0。设1P0{3，1<000，那么分布厂∈曰。s当且仅当以下条件成lIc，一，p-，+(J一1一日(—p)cc，一／，0]立：(1)f，一A)Tf∈LP(R)接下来证明定理的充分性。(2)P／IO~10

6、其中A是拉普拉斯算子。pP∞P厂=(』一△)一iF=(，一△)一i((+∑(，一△)i证明：条件的必要性。设是一个足够大的整数，(-，∈Z)是j=o①基金项目：中国冶金教育学会教改重点项目(YZG09015)。作者简介：刘兴薇(1979一)，女，内蒙古包头人，硕士学历，讲师，硕士，研究方向：小波与函数论，现任内蒙古科技大学数理与生物工程学院讲师，主要从事高等数学的教学与研究工作。科技资讯SCIENCE＆TECHNOLOGYINFORMATION229ljill2IllIliiI—。。。。。．。我们

7、易证明(1-△)一jp(F))∈Bs。所以如果要证明-厂∈，lc，一△cF一cFF(1-A)~f学术论坛。只需要证明羔(，一△)即可。由负指数Bes。v空间的共轭性，_¨有=(87／’)，对于任给定的g∈B。，可以分解为以下形式：+t-'-~('-v~Y((I-A)if,t)~pj<。。g：eo(g)+D，(g)因此有：il4；(1-A)-~(F-E+c，一△p2c我们当然有o(F))：Il1c(∑j=0c(，一△)p，c(g))Il1窆∑i=01l(一△)：，巨，c(g))Ilc，一△pj／1+

8、l1(1-A)REo(F)：+(j：—I—日(一p)cc，一p厂，：]。：：窆∑／=ol，r，一A)2。c(g))lIl<∑i=o【l1lIl【c，一△)一E。c(g)根据B。。不等式，容易证明(I-A)~Eo(g)c，其中c，l(I-A)-'~Eo(F)cEo((I-A)-~Eo(F))是一个常数。而由1I~,1s2我们可以推得：+cDj((I-A)pEo(F)lI【(gj=ou-A)-2，㈤(g))IlC2l＼∑j=osl}：式C中也是一个常数。此外，通过直接计算可以证明下式≤