错位相减求和.doc

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1、错位相减求和及其应用对于等比数列的前项和，根据等比数列的通项公式，①如果用公比乘①的两边，可得②①与②的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，得，当时，等比数列的前项和的公式为（）上述推导等比数列前项和公式的方法就是错位相减法，其实错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等差数列与等比数列相乘的形式，借助错位相减把这种形式数列的求和转化为等比数列求和，比如：例1.已知数列满足，其中为公差为的等差数列，为公比为（）的等比数列，求数列的前项和由于①用等比数列的公比乘①的两边

2、，可得：②用①的两边分别减去②的两边，而且让①的右边的最后一项减②的右边的倒数第二项，依次错一位相减，可得：③则故若等差数列中，则③式可化为故我们知道，等差数列的通项公式可以看成关于的一次函数，从上面过程来看，错位相减法的实质就是对该一次函数降次，把关于的一次函数与等比数列相乘的形式的求和化成常数与等比数列相乘的形式的求和，然后提取常数，利用等比数列前项和的公式把多项化成单项，再化简，得出结果。这时我们会想，既然错位相减法的实质是降次，能求关于的一次函数与等比数列相乘形式的和，能不能求关于的二次函数与等比

3、数列相乘形式的和呢？答案是肯定的，只不过要用两次错位相减法，第一次把关于的二次函数与等比数列相乘形式的求和转化成关于的一次函数与等比数列相乘形式的求和，第二次则是把关于的一次函数与等比数列相乘的形式的求和化成常数与等比数列相乘的形式的求和。例2.已知等差数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）若数列的前项和为，求数列的前项和显然，（1）中数列的通项公式，故（2）中，是等差数列与等比数列相乘的形式，用错位相减法求和：若数列的前项和为，则①用乘①的两边，可得②用①的两边分别减去②的两

4、边，而且让①的右边的最后一项减②的右边的倒数第二项，依次错一位相减，可得：③化简③式得：故数列的前项和（3）中易求，故，若数列的前项和为，则④用乘④的两边，可得⑤用④的两边分别减去⑤的两边，而且让④的右边的最后一项减⑤的右边的倒数第二项，依次错一位相减，可得：⑥在⑥中，我们令⑦用乘⑦的两边，可得⑧用⑦的两边分别减去⑧的两边，而且让⑦的右边的最后一项减⑧的右边的倒数第二项，依次错一位相减，可得⑨化简⑨式得：所以，代入⑥中，得故数列的前项和上例我们用两问分别给出了两种形式用错位相减法求和运算的具体步骤。其实关

5、于的三次及三次以上的函数与等比数列相乘形式的求和也可以用错位相减法，在关于的高次函数与等比数列相乘形式用错位相减法求和时，关于的函数的次数为多少就要用多少次错位相减法，运算比较繁琐，在此关于的三次及三次以上的函数与等比数列相乘形式的求和不再举例。