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1、第一章 代数基本概念 习题解答与提示(P54) 1. 如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群.证明:对任意a,bG,由结合律我们可得到(ab)2=a(ba)b,a2b2=a(ab)b再由已知条件以及消去律得到ba=ab,由此可见群G为交换群. 2. 如果群G中,每个元素a都适合a2=e,则G为交换群.证明:[方法1]对任意a,bG,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab因此G为交换群.[方法2]对
2、任意a,bG,a2b2=e=(ab)2,由上一题的结论可知G为交换群.33/33 3. 设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:(1) a(bc)=(ab)c;(2) 由ab=ac推出a=c;(3) 由ac=bc推出a=b;证明G在该乘法下成一群.证明:[方法1]设G={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有akaiakaj------------<1>aiakajak------------<2>再由乘法的封闭性可知G={a
3、1,a2,…,an}={aka1,aka2,…,akan}------------<3>G={a1,a2,…,an}={a1ak,a2ak,…,anak}------------<4>由<1>和<3>知对任意atG,存在amG,使得akam=at.由<2>和<4>知对任意atG,存在asG,使得asak=at.由下一题的结论可知G在该乘法下成一群. 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。[方法2]为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元(单位元)，并且证明G内每一个元素都可逆即可.3
4、3/33为了叙述方便可设G={a1,a2,…,an}.(Ⅰ)证明G内存在幺元.<1>存在atG，使得a1at=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明);<2>证明a1at=ata1;因为a1(ata1)at=(a1at)(a1at)=(a1)2a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)=(a1)2,故此a1(ata1)at=a1(a1at)at.由条件(1),(2)可得到a1at=ata1.<3>证明at就是G的幺元;对任意akG,a1(atak)=(a1at)ak=a1ak由条件(2)可知atak=a
5、k.类似可证akat=ak.因此at就是G的幺元.(Ⅱ)证明G内任意元素都可逆；上面我们已经证明G内存在幺元，可以记幺元为e，为了方便可用a,b,c,…等符号记G内元素.下面证明任意aG，存在bG，使得33/33ab=ba=e.<1>对任意aG，存在bG，使得ab=e;(这一点很容易证明这里略过.)<2>证明ba=ab=e;因为a(ab)b=aeb=ab=ea(ba)b=(ab)(ab)=ee=e再由条件(2),(3)知ba=ab.因此G内任意元素都可逆.由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1)可知G在该乘法下成一群. 4.
6、设G是非空集合并在G内定义一个乘法ab.证明:如果乘法满足结合律,并且对于任一对元素a,bG,下列方程ax=b和ya=b分别在G内恒有解，则G在该乘法下成一群.证明：取一元aG,因xa=a在G内有解,记一个解为ea,下面证明ea为G内的左幺元.对任意bG,ax=b在G内有解,记一个解为c,那么有ac=b,所以eab=ea(ac)=(eaa)c=ac=b,33/33因此ea为G内的左幺元.再者对任意dG,xd=ea在G内有解,即G内任意元素对ea存在左逆元,又因乘法满足结合律,故此G在该乘法下成一群. [总结]群有几种等
7、价的定义:(1) 幺半群的每一个元素都可逆，则称该半群为群.(2) 设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律,并且G内包含幺元,G内任意元素都有逆元,则称G为该运算下的群.(3) 设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律,并且G内包含左幺元,G内任意元素对左幺元都有左逆元,则称G为该运算下的群.(4) 设G是一个非空集合，G内定义一个代数运算，该运算满足结合律,并且对于任一对元素a,bG,下列方程ax=b和ya=b分别在G内恒有解，则称G为该运算下的群.值得注意的是如果一个有
8、限半群满足左右消去律,则该半群一定是群. 5. 在S3中找出两个元素x,y,适合(xy)2x2y2.[思路]在一个群G中，x,yG,xy=yx(xy)2x2y2(这一点很容易证明).因此只要找到S3中两个不可交换的元素即可.我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素.解:取x=,y=那么33/33(xy)2=x2y2. [注意
