【湘教版】八年级数学下册教案：1.1直角三角形的性质和判定.doc

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1、第1章直角三角形1．1　直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第1课时　直角三角形的性质和判定1．掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；(重点)2．探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．(重点、难点)一、情境导入在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质．二、合作探究探究点一：直角三角形两锐角互余如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A＝2

2、0°，则∠CEF等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A．110°B．100°C．80°D．70°解析：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.故选A.方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键．探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形如图所示，已知AB∥CD，∠BAF＝∠F，∠EDC＝∠E

3、，求证：△EOF是直角三角形．解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，本题欲证△EOF是直角三角形，只需证∠E＋∠F＝90°即可，而∠E＝(180°－∠BCD)，∠F＝(180°－∠ABC)，由AB∥CD可知∠ABC＋∠BCD＝180°，即问题得证．证明：∵∠BAF＝∠F，∠BAF＋∠F＋∠ABF＝180°，∴∠F＝(180°－∠ABF)．同理，∠E＝(180°－∠ECD)．∴∠E＋∠F＝180°－(∠ABF＋∠ECD)．∵AB∥CD，∴∠ABF＋∠ECD＝18

4、0°.∴∠E＋∠F＝180°－×180°＝90°，∴△EOF是直角三角形．方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°，如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知该三角形为直角三角形．探究点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；(2)求证：EF垂直平分AD.解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝AB，DF＝AF＝AC，再根据四边形的

5、周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．(1)解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；(2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E是AD的垂直平分线上的点，F是AD的垂直平分线上的点，∴EF垂直平分AD.方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形

6、的直角顶点进行求解或证明．探究点四：直角三角形性质的综合运用【类型一】利用直角三角形的性质证明线段关系如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于F，交AB于点E.求证：FC＝2BF.解析：根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF，得到△AFB为等腰三角形．又可求得∠B＝∠C＝∠BAF＝30°，进而求得∠FAC＝90°.取CF的中点M，连接AM，就可以利用直角三角形的性质进行证明．证明：如图，取CF的中点M，连接AF、AM.∵EF是A

7、B的垂直平分线，∴AF＝BF.∴∠BAF＝∠B.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠BAF＝∠C＝(180°－120°)＝30°.∴∠FAC＝∠BAC－∠BAF＝90°.在Rt△AFC中，∠C＝30°，M为CF的中点，∴∠AFM＝60°，AM＝FC＝FM.∴△AFM为等边三角形．∴AF＝AM＝FC.又∵BF＝AF，∴BF＝FC，即FC＝2BF.方法总结：当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，使用该性质时，要注意找准斜边和斜边

8、上的中线．【类型二】利用直角三角形的性质解决实际问题如图所示，四个小朋友在操场上做抢球游戏，他们分别站在四个直角三角形的直角顶点A、B、C、D处，球放在EF的中点O处，则游戏________(填“公平”或“不公平”)．解析：游戏是否公平就是判断点A、B、C、D到点O的距离是否相等．四个直角三角形有公共的斜边EF，且O为斜边EF的中点．连接OA、OB、OC、OD.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可知，OA＝OB＝OC＝OD＝EF，即点A、B、C、D到O的距离相等．由