导数中几个易错概念辨析-论文.pdf

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1、50数学通讯——2O13年第11、12期(上半月)·辅教导学·导数中几个易错概念辨析高圣清(华中科技大学附中，430074)概念是数学知识的基础，也是高中数学教学一一工的教学标准规定的一项重要教学内容，而且概念还是学生理解数学基础知识及掌握必要的知识运2．导数为零的点与极值点用技能的保证，可以说它是整个数学教学中极其例2讨论以下函数是否存在极值点?重要的一环．学生只有理解并熟练掌握了必要的(1)，(z)==：；(2)厂(z)一X一8x。．数学概念，才能够在进行数学学习的过程中达到辨析关于极值点与导数值为零的点的关对数学知识的举一反三的应用．近

2、年来，高中数学系，有下面的结论：教师对于概念教学的忽略，使得越来越多的教学(1)y—f(x)在=z。处取得极弊端呈现出来，将数学教学推人了一种难以突破值骨对⋯的窘境．高中数学教师为了使数学教学的水平得．以有效提升，开始纷纷开展对于概念教学的理论(2)导数值为零的点不一定是极值点．研究及强化实施．下面是我在导数性质教学时所解析(1)／(z)一3x，当z一0时，导函数设计的问题，重点辨析了学生学习应用中最易出f(z)===0，而当X<0或z>0时，总有f(z)>错的六组概念，与同行一起分享．0，0附近左右的导数值都大于零，从而0不是y一1．在某点

3、处的切线与过某点的切线厂(z)的极值点．例1(1)曲线—x(31nx+1)在点(1，1)处(2)／(z)一4x。一24x一4x(z一6)，当的切线方程为；厂(z)>0时，X>6；当f()≤0时，X≤6或X(2)曲线，()一z3—3z+2过原点的切线一0，从而0不是Y一厂(z)的极值点，6是Y=方程为．厂(z)的极小值点．辨析曲线在某点处的切线与过某点的切线说明为了认识得更深刻，得到单调性以后最本质的区别是切点的不同，前者切点是明确的，可结合图象进行分析．后者的切点则需求设．为了减少未知数的个数，设3．单调与不单调切点时往往使用“切点在曲线上”

4、这一条件．从而例3已知函数厂(z)一X(z一日)．归纳出求曲线的切线方程的基本步骤是：①设切(1)若厂(z)在(2，3)上单调，求口的范围；点(“在某点处”情形该点即为切点)；②写出该点(2)若，(z)在(2，3)上不单调，求口的范处的切线斜率；③得到切线方程．围．解析(1)切线的斜率为辨析函数在所给的范围内单调的情况，首yI一1一(31nx+4)I一1—4，先是对图象“形”的区别考察；其次是“形”转化为那么切线方程为y—l一4(x一1)，即4z—y数学符号语言上转化能力的考察．若单调，只有两一3—0．种情形：单调增，则f()≥0(z∈D)恒

5、成立(注(2)不妨设切点为(z。，X3—3z2+2x。)，则该意：f(z)=0(z∈D)不恒成立)；单调减，则点处的切线斜率为厂(z。)=3x3-6x。+2，切线方f()≤0(z∈D)恒成立(注意：(z)一0(∈程为Y一(翻一3z+2x。)一f(zo)(—X。)一D)不恒成立)．若不单调，则函数y一厂(z)在z∈(3x一6x。+2)(z—。)，又原点在切线上，得到X。0D上(不包括区间端点)存在极值点，具体函数具一或X。一0，则切线方程为Y一2x或Y体分析．当然，“单调”与“不单调”本身就是一个问·辅教导学·数学通讯——2O13年第ll、12

6、期(上半月)51题的正反面，也可运用补集的思想求解．解析由于口>0，一厂(z)在R上无极值点，故f(z)一衄+(9—5a)x+4a≥0，所以△解析／()一3x。一2ax一3x(x一口)．一(9—5a)一4·口·4a≤0，解得1≤n≤9．(1)若，(z)在(2，3)上单调，则有两种可能：5．非单调的三次函数的极值与零点个数①3x。一2ax≥0，Vz∈(2，3)恒成立，得n≤辨析单调的三次函数要么增要么减，显然z，即口≤3；是没有极值的；而非单调的三次函数的图象可能是“增一减一增”或“减一增一减”(由导函数为②3x。一2ax≤0，Vz∈(2，3)

7、恒成立，得口≥二次函数的性质决定)，极值以及零点的个数就极3z，即口≥号．具研究价值了．非单调三次函数必存在两个极值点，且极大值比极小值大，因为它们同在一个单调(2)若厂(z)在(2，3)上不单调，则有≠0且区间内．非单调三次函数的零点个数就不定了，有2<<3，从而a∈(3，9)三种情形：①只有一个零点，则极大值和极小值同．大于零或同小于零；②有两个零点，则极大值与极4．，()在(口。b)上总存在极值．仅在=小值中有且仅有一个为零；③有三个零点，则极大处取极值与在R上无极值值大于零且极小值小于零．为形象地刻画它们的辨析函数的极值存在与否，极值

8、点的个数区别，就仿佛“上帝”只需控制两个关键点(函数图以及大致范围是解题中很常规的一类问题．多是象上取得极值的点)——“上帝的手”，零点问题就转化到二次函数的研究上