剖析四阶幻方-论文.pdf

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1、怡情智趣俱j鄙囊i剖析圆阶幻方周士藩我们很多同学可能曾在小学的数学兴(3)每行、每列与两条对角线上四个数趣小组及初中的课本中，遇到过如图1所示的和都等于．的一个四阶幻方：图中每行、每列与两条对分析与解(1)据题意，先设这个相等角线上四个数的和都相等，这个相等的和的和是S，于是两条对角线上(4×2一)8个是34．数的和是2S，于是有等式：善+思+体+乐115144+想+维+操+学一2S，12679即(善+想+乐+学)4-(思十维+体+81O115操)一2S①．1332l6又在图中第2，3两行上(4×2一)8个数图1的和也是2S，于是有等式：现在我们来探讨一般的四价幻方的性(口

2、+思+维+b)4-(d+操+体4-c)质，为此观察图1，可以发现如下两个有趣的一2S，事实：即(口+b+c4-)4-(思+维+体+操)一2S②．事实1四阶幻方中，四个角上的四个①式减去②式，经移项整理得：数的和是34；中间四个数的和也是34．善+想+乐+学一口+64-c+d．事实2第2，3两行(列)两端四个数(2)再看第1，4列上(4×2一)8个数求和，有等式：的和也是34．(善+d4-d4-学)4-(想+b4-c4-乐)这两个事实，对一般的四阶幻方也有吗?为此我们来解下面的：一2S。即(善+想+乐+学)4-(n+b+c4-)例1图2是一个四阶幻方，八个汉字一2S③．“善想

3、乐学思维体操”代表八个数，而n，b，f，①式减去③式，再经移项整理得：d是已知数，那么：(1)善+想+乐+学一思+维+体+操一a4-6+c+．④(3)将④式代入②式，经计算整理可得善想S—a+6+c4-d，故这个四阶幻方相等的和是口4-6+C4-d．口思维b由此得：操体C学乐结论1任一四阶幻方中，四个角上的图2四个数的和及中间四个数的和都等于这个(2)思+维+体+操一相等的和；并且它的第2，3行(列)上两端四∞≯{Um}毖￡y_}l￡il娃￡黼雄瓣萤敷怡情智趣俱乐郝个数的和也等于这个相等的和．Ol33由结论1可以得：110rb8结论2任一四阶幻方中，(1。)对角线n9g^上

4、两端两数的和等于另一条对角线上中间两e}15数的和；(2。)第2(3)行上两端两数的和等于图3第3(2)行上中间两数的和；(3。)第2(3)列上分析与解由结论2(4。)可知；两端两数的和等于第3(2)列上中间两数的和；(4。)第1(4)列上两端两数的和等于第41l4-cz一3+15，故n一7；(1)列上中间两数的和；(5。)第1(4)行上两端由结论2(1。)可知：0+15—9+b，故b两数的和，等于第4(1)行上中问两数的和．=：=6：由此，再从第2行可知这个四阶幻方的分析与解(r)由图2及结论1，有相等和是(11+5+6+8一)3O；于是C===30—等式：0—13—3—

5、14：一30—9—6—3—12：g===30善+思+体+乐一思+维+体—14—5—9=2；-厂一30一—P一15—30—12+操①；—2—15—1，同理g一10，h一4．想+维+操+学===思+维+体说明上述计算过程只须在图3七，用+操②．在①式中，消去两端“思”与“体”代表的心算直接计算并写出各所求的数．只要熟悉数，得：善+乐一维+操；上述结论1和2，非常容易求得各未知的数．在②式中，消去两端“维”与“操”代表的又比如下面的：数，得：想+学一思+体．例3图4是一个四阶幻方，试求出八(2。)由图2及结论1，有等式：个空格中各数．口+思+维+6===思+维+体+操③；+操+体

6、+C一思+维+体+操④．一l5—1311由③④式依次可得：a+b一体+操；c+—5一思+维．35(3。)将图2逆时针方向旋转9o。，仍是9四阶幻方，由(2。)结论即得(3。)．图4(4。)由图2及结论1，有等式善+n+d+学一善+想十乐+学⑤；解见图5．先求得(一54-5—9一)一9想+b+c+乐===善+想+乐+学⑥．(填在右上角方格内)，于是，这个相等的和由⑤⑥式分别可得：n+-二想+乐；6+从第一行上知(一15+13+11—9)是o．这时C一善+学．易求出其它各数：(5。)同(3。)理，由(4。)结论可得(5。)．一1513119现在利用上述结论1及2，易解下列7—5

7、—31各例．l3一7霹’曩例2图3是一个四阶幻方．9一lll315，其中有八个已知数，试求其它八个未知数．图586：。￡“列瓣'￡燃娥。缸磁_⋯怡情·智趣俱乐郝“≯鳓囊誊例说猜想与求证伍帆著名的英国物理学家牛顿曾有这样一部分，被减数的比减数的至少大1，并且被减句名言：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的数的小数点后的数尽量小，取1，2，3，而减数发现．”历史的事实告诉我们：在数学的发展的小数点后尽量大，取9，8，7，于是可得如下史上，许多著名的数学难题都是在猜想的基两个算式：础上发现的．比如，“费马大定理”、“哥德巴囤