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1、1.离散小波变换长期以来，离散小波变换(DiscreteWaveletTransform)在数字信号处理、石油勘探、地震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中都得到了广泛的应用。各种快速傅氏变换(FFT)和离散小波变换(DWT)算法不断出现，成为数值代数方面最活跃的一个研究领域，而其意义远远超过了算法研究的范围，进而为诸多科技领域的研究打开了一个崭新的局面。本章分别对FFT和DWT的基本算法作了简单介绍，若需在此方面做进一步研究，可参考文献[2]。1.1离散小波变换DWT1.1.1离散小波变换D
2、WT及其串行算法先对一维小波变换作一简单介绍。设f(x)为一维输入信号，记，，这里与分别称为定标函数与子波函数，与为二个正交基函数的集合。记P0f=f，在第级上的一维离散小波变换DWT(DiscreteWaveletTransform)通过正交投影Pjf与Qjf将Pj-1f分解为：其中：，，这里，{h(n)}与{g(n)}分别为低通与高通权系数，它们由基函数与来确定，p为权系数的长度。为信号的输入数据，N为输入信号的长度，L为所需的级数。由上式可见，每级一维DWT与一维卷积计算很相似。所不同的是：在DWT中，输
3、出数据下标增加1时，权系数在输入数据的对应点下标增加2，这称为“间隔取样”。算法22.3一维离散小波变换串行算法输入：c0=d0(c00,c10,…,cN-10)h=(h0,h1,…,hL-1)g=(g0,g1,…,gL-1)输出：cij,dij(i=0,1,…,N/2j-1,j≥0)Begin(1)j=0,n=N(2)While(n≥1)do(2.1)fori=0ton-1do(2.1.1)cij+1=0,dij+1=0(2.1.2)fork=0toL-1doendforendfor(2.2)j=j+1,n=
4、n/2endwhileEnd显然，算法22.3的时间复杂度为O(N*L)。在实际应用中，很多情况下采用紧支集小波（CompactlySupportedWavelets），这时相应的尺度系数和小波系数都是有限长度的，不失一般性设尺度系数只有有限个非零值：h1,…,hN，N为偶数，同样取小波使其只有有限个非零值：g1,…,gN。为简单起见，设尺度系数与小波函数都是实数。对有限长度的输入数据序列：(其余点的值都看成0)，它的离散小波变换为:其中J为实际中要求分解的步数，最多不超过log2M，其逆变换为注意到尺度系数和
5、输入系列都是有限长度的序列，上述和实际上都只有有限项。若完全按照上述公式计算，在经过J步分解后，所得到的J+1个序列和的非零项的个数之和一般要大于M，究竟这个项目增加到了多少？下面来分析一下上述计算过程。j=0时计算过程为不难看出，的非零值范围为：即有个非零值。的非零值范围相同。继续往下分解时，非零项出现的规律相似。分解多步后非零项的个数可能比输入序列的长度增加较多。例如，若输入序列长度为100，N=4，则有51项非零，有27项非零，有15项非零，有9项非零，有6项非零，有4项非零，有4项非零。这样分解到6步后
6、得到的序列的非零项个数的总和为116，超过了输入序列的长度。在数据压缩等应用中，希望总的长度基本不增加，这样可以提高压缩比、减少存储量并减少实现的难度。可以采用稍微改变计算公式的方法，使输出序列的非零项总和基本上和输入序列的非零项数相等，并且可以完全重构。这种方法也相当于把输入序列进行延长（增加非零项），因而称为延拓法。只需考虑一步分解的情形，下面考虑第一步分解(j=1)。将输入序列作延拓，若M为偶数，直接将其按M为周期延拓；若M为奇数，首先令。然后按M+1为周期延拓。作了这种延拓后再按前述公式计算，相应的变换
7、矩阵已不再是H和G，事实上这时的变换矩阵类似于循环矩阵。例如，当M=8，N=4时矩阵H变为：当M=7，N=4时矩阵H变为：从上述的矩阵表示可以看出，两种情况下的矩阵内都有完全相同的行，这说明作了重复计算，因而从矩阵中去掉重复的那一行不会减少任何信息量，也就是说，这时我们可以对矩阵进行截短（即去掉一行），使得所得计算结果仍然可以完全恢复原输入信号。当M=8，N=4时截短后的矩阵为：当M=7，N=4时截短后的矩阵为：这时的矩阵都只有行。分解过程成为：向量C1和D1都只有个元素。重构过程为：可以完全重构。矩阵H，G有
8、等式H*H+G*G=I一般情况下，按上述方式保留矩阵的行，可以完全恢复原信号。这种方法的优点是最后的序列的非0元素的个数基本上和输入序列的非0元素个数相同，特别是若输入序列长度为2的幂，则完全相同，而且可以完全重构输入信号。其代价是得到的变换系数Dj中的一些元素已不再是输入序列的离散小波变换系数，对某些应用可能是不适合的，但在数据压缩等应用领域，这种方法是可行的。Begin对所有处理器
