2.1.4数乘向量 课件(人教b版必修4)

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1、2．1.4数乘向量1．实数与向量的积的定义实数λ与向量a的积是个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

2、λa

3、＝

4、λ

5、·

6、a

7、；当时，λa与a的方向相同；当时，λa与a的方向相反；当时，λa＝0.λ>0λ<0λ＝02．数乘向量的运算律设λ、μ为实数，则：(1)(λ＋μ)a＝；(2)λ(μa)＝；(3)λ(a＋b)＝(分配律)．λa＋μb(λμ)aλa＋λb重点：数乘向量运算的概念、运算律及数乘运算的几何意义．难点：正确运用数乘向量的定义、法则进行向量的线性运算．1．向量数乘的几何意义(1)当

8、λ

9、>1时，有

10、λa

11、>

12、a

13、，这意味着表示向量a的有

14、向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长到原来的

15、λ

16、倍．(2)当0<

17、λ

18、<1时，有

19、λa

20、<

21、a

22、,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短为原来的

23、λ

24、倍．2．实数与向量的积满足的运算律设λ、u是实数，则有(1)λ(ua)＝(λu)a，(结合律)(2)(λ＋u)a＝λa＋ua，(第一分配律)(3)λ(a＋b)＝λa＋λb，(第二分配律)3．向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的，我们就说这个向量c可以用另一些向量线性

25、表示，如c＝2a＋3b，称c可由a、b线性表示．[例1](1)化简6a－[4a－b－5(2a－3b)]＋(a＋7b)；(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y用a，b表示出来．[分析]求解的依据是运算律，采用与代数式的运算相似的方法．[分析]本例中已知条件没有涉及方向，但欲求结果中却涉及了方向．因此，解答此类问题，要把握好从单一的长度要素向长度、方向双重要素的过渡．[答案]①②③④[例4]判断正误：若λa＝0，则a＝0(λ∈R)．[误解]正确[辨析]λa＝0的一种情况是a＝0，另一种情况是λ＝0.[正解]不正确，要注意0与任意一个向

26、量的积还是一个向量，为0，而不是数0.[答案]B[解析]λμ<0知λ，μ符号相反．[答案]C[答案]B4．已知m、n为非零实数，a、b为非零向量，则下列各项中正确的个数为()①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.A．4B．3C．2D．1[答案]A[解析]①②由数乘的运算法则可知正确．ma－mb＝m(a－b)＝0∵m≠0，∴a－b＝0即a＝b，∴③正确．ma－na＝(m－n)a＝0∵a≠0，∴m－n＝0，∴m＝n，∴④正确．二、填空题5．已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式

27、5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝________，y＝________.[答案]3－46．若

28、a

29、＝m，b与a的方向相反，且

30、b

31、＝2，则a＝________b.