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1、２０１１年炎陵一中与长沙市一中合作学案 制作 李春明空间向量与立体几何复习导学案【学习目标】：1、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；4、理解直线的方向向量与平面的法向量；5、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；6、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。【学习重点】：1、空间向量的
2、概念、坐标表示、线性运算及数量积运算；2、直线的方向向量与平面的法向量，空间元素的位置关系及角如何用向量表示；【学习难点】：1、将未知向量用已知向量（非正交基底）表示，通过对已知向量（基底）的运算求解立体几何问题；2、在解决立体几何问题时找准位置，建立恰当、正确的空间直角坐标系，准确表示出已知点（或向量）的坐标，通过向量的坐标运算实现几何问题的代数解法；【学习要点】：1、空间向量的概念与运算（1）空间向量的有关概念（2）空间向量的加、减法法则和运算律（3）向量的数乘运算（4）平行向量（共线向量）（5）向量与平面平行与共面向量（6）空间向量基本定理（7）空间
3、两向量的数量积（8）空间向量的坐标运算2、立体几何中的向量方法：（1）求平面的法向量——法向量与平面内两个不共线的向量垂直（2）利用空间向量证明线面平行问题——证明直线的方向向量与平面的法向量平行（3）利用空间向量证明面与面平行问题——证明两平面的法向量互相平行（4）利用空间向量证明线面垂直——证明平面的法向量与直线的方向向量平行（5）利用空间向量证明面面垂直——证明两个平面的法向量互相垂直（6）利用空间向量求异面直线所成的角——设直线a,b的方向向量为a,b，其夹角为，两异面直线a,b所成的角为，则有。（注意：0<。）（7）利用空间向量求直线与平面所成的
4、夹角——设直线的方向向量为a,平面的法向量为n,数学是人类知识活动留下来最具威力的知识工具，是一些现象的根源。数学是不变的，是客观存在的，上帝必以数学法则建造宇宙。——笛卡尔２０１１年炎陵一中与长沙市一中合作学案 制作 李春明线面角为，则。（8）利用空间向量求二面角——设二面角的平面角为，平面的法向量为n1,n2，则。（9）利用空间向量方法求两点间的距离——。（10）利用空间向量求点到平面的距离——若AB是平面的任一条斜线段，，平面的法向量为n，则点B到平面的距离为。（11）利用空间向量求异面直线间的距离——设l1,l2是两条异面直线，n是l1,l
5、2的公垂线段的方向向量，又B、D分别是l1,l2上的任意两点，则l1与l2的距离是。【基础练习】1．选择题：（1）直三棱柱ABC-A1B1C1中，若CA=a，CB=b，CC1=c，则A1B=（）(A)a+b-c(B)a-b+c(C)-a+b+c(D)–a+b-c（2）已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是()（A）OM=OA+OB+OC.（B）OM=2OA-OB-OC.（C）OM=OA+OB+OC.（D）OM=OA+OB+OC.（3）若向量m同时垂直向量a和b，向量n=,则（）A．ｍ∥nB．ｍ⊥n
6、C．ｍ与n既不平行也不垂直D．以上三种情况均有可能（4）已知a=(x+1,0,2x),b=(6,2y-1,2),a∥b,则x与y的值分别为（ ）A．B.5，2C.D.-5，-22、填空题：（1）若a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则a·（b+c）=(2)已知，则，=数学是人类知识活动留下来最具威力的知识工具，是一些现象的根源。数学是不变的，是客观存在的，上帝必以数学法则建造宇宙。——笛卡尔２０１１年炎陵一中与长沙市一中合作学案 制作 李春明3、解答题：若向量⊥，⊥，求a与b的夹角。【高考链接】１、（2011年陕西理16
7、）如图，在中，是上的高，沿把△ABD折起，使∠BDC=90°。（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ；（Ⅱ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求与夹角的余弦值。2、（2011年辽宁理18）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．数学是人类知识活动留下来最具威力的知识工具，是一些现象的根源。数学是不变的，是客观存在的，上帝必以数学法则建造宇宙。——笛卡尔２０１１年炎陵一中与长沙市一中合作学案 制作 李春明3、（2011年全国新课标理18）如图，四棱锥中，
8、底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．（I）证明：；（II）
