导数与微分(教案).doc

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1、重庆工商大学融智学院《微积分》教案（上册）章节名称：第三章导数与微分主讲教师：岳斯玮联系方式：105《微积分》（上册）教案第三章导数与微分本章教学目标与要求理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。了解导数在经济中的应用本章教学重点与

2、难点1．导数概念及其求导法则；2．隐函数的导数；3．复合函数求导；4．微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算§3.1导数的概念教学目的与要求1.理解函数导数的概念及其几何意义.2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.3.了解导数与导函数的区别和联系.4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系.教学重点与难点1.函数导数的概念、基本初等函数的导数2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数教学过程一、引例导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度

3、和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的．下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念．105《微积分》（上册）教案1．瞬时速度思考：已知一质点的运动规律为，为某一确定时刻，求质点在时刻的速度。在中学里我们学过平均速度，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解，这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火

4、箭飞行速度的变化规律.不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”.设质点运动的路程是时间的函数，则质点在到这段时间内的平均速度为可以看出它是质点在时刻速度的一个近似值，越小，平均速度与时刻的瞬时速度越接近.故当时，平均速度就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在时刻的瞬时速度，即物体在时刻的瞬时速度为（1）思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？因为自

5、由落体运动的运动方程为：，按照上面的公式，可知自由落体运动在时刻的瞬时速度为。这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.2．切线的斜率思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义.（1）切线的概念105《微积分》（上册）教案曲线C上一点M的切线的是指：在M外另取C上的一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN绕点M转动而趋向极限位置MT，直线MT就叫做曲线C在点M处的切线。简单说：

6、切线是割线的极限位置。这里的极限位置的含义是：只要弦长趋于0，也趋向于0.（如图所示）（2）求切线的斜率设曲线C为函数的图形，，则，点为曲线C上一动点，割线MN的斜率为：根据切线的定义可知，当点N沿曲线C趋于M时，即，割线的斜率趋向于切线的斜率。也就是说，如果时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为，即（2）3.边际成本设某产品的成本C是产量x的函数，试确定产量为个单位时的边际成本。用前两例类似的方法处理得：表示由产量变到时的平均成本，如果极限（3）存在，则此极限就表示产量为个单位时成本的变化率或边际成本。思考：上述三个问题的结果有没有共同点

7、？上述两问题中，第一个是物理学的问题，第二个是几何学问题，第三个是经济学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形如（4）105《微积分》（上册）教案的极限问题.事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如（4）的极限问题.为了统一解决这些问题，引进“导数”的概念.二、导数的定义1．导数的概念定义设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点处取得增量（点仍在该邻域内）时，函数相应地取得增量，如果极限存在，则这个极限叫做函数在点处的导数，记为当函数在点处的导数存在时，就说函数在点处可

8、导，否则就说在点处不可导.特别地，当时，，为了方便起见，有时就说在点处的导数为无穷大.关于导数有几点说明：（1）导数除了定