2.3.2向量数量积的运算律 课件(人教b版必修4)

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1、2．3.2向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律①a·b＝(交换律)；②(λa)·b＝(结合律)；③(a＋b)·c＝(分配律)．b·aλ(a·b)＝a(λb)a·c＋b·c重点：数量积的运算律及其应用．难点：数量积运算律的证明、应用及向量运算和数量运算的联系与区别．对于实数a、b、c有(a·b)c＝a(b·c)；但对向量a、b、c，(a·b)·c＝a·(b·c)未必成立，这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)未必成立．即向量数量积不满足结合律．[例1]已知a＝13，

2、b＝19，a＋b＝24，求a－b.[分析]利用公式a2＝a·a.[解析]由a＋b2＝(a＋b)2，可得a2＋2a·b＋b2＝576，∴169＋2a·b＋361＝576，∴2a·b＝46.∴a－b2＝a2－2a·b＋b2＝169－46＋361＝484，∴a－b＝22.[答案]A[例2]已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求.[例3]已知a＝3，b＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.当m为何值时，c与d垂直？[分析]可利用c⊥d⇔c·d＝0构造方程求m.[点评]向量的垂直问题主要借助于垂直的等价条

3、件a⊥b⇔a·b＝0解决．(2010·山东莱州市高一下学期期末测试)设e1、e2是两个互相垂直的单位向量，且a＝－(2e1＋e2)，b＝e1－λe2(1)若a∥b，求λ的值；(2)若a⊥b，求λ的值．(2)∵a⊥b，∴a·b＝0，∴－(2e1＋e2)·(e1－λe2)＝0.∴－2e＋2λe1·e2－e1·e2＋λe＝0，∴－2＋λ＝0，∴λ＝2.[分析]四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量．[解析]四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2，即a2＋2a·b＋b2

4、＝c2＋2c·d＋d2.由于a·b＝c·d，∴a2＋b2＝c2＋d2①同理有a2＋d2＝c2＋b2②由①②可得a＝c，且b＝d即四边形ABCD两组对边分别相等．∴四边形ABCD是平行四边形．另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，而由平行四边形ABCD可得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形．[例5]设两个向量e1、e2满足e1＝2，e2＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．[辨析]若a与b夹角为钝角，有a·b<0，但a·b

5、<0时，包括a与b夹角为180°，故若a与b夹角为钝角，有a·b<0且扣除a与b夹角为180°时，t的取值．[答案]B[答案]D3．已知a＝b＝1，a⊥b，(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k等于()A．－6B．6C．3D．－3[答案]B[解析](2a＋3b)·(ka－4b)＝0，2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0.∵a＝b＝1，a·b＝0，∴2k－12＝0，k＝6.二、填空题4．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②a－b≤a－b；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－

6、2b)＝9b2－4b2.其中正确的有______．[答案]②④[解析]①错因为向量数量积不满足结合律；③错，因为[(b·c)a－(c·a)·b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，∴垂直．5．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c.②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3.③非零向量a和b满足a＝b＝a－b，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)[答案]②③非零向量a，b满足a＝b＝a－b，则三向量a、b、a－b构成正三角形如图．由向量加法的平行四边形法则

7、知，a＋b平分∠BAC，∴a＋b与a夹角为30°，③错．