居民区供水问题.doc

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1、居民区供水问题的研究与分析摘要：本文针对居民区供水问题进行研究与讨论。根据拟合原理对水塔的流量进行模拟，运用数值积分对一天的总用水量进行估计。本文建立了水塔流量模拟的数学模型，并对模型进行了分析与评价。对于问题一，流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，在本文的计算中，我们先表中所给数据拟合水位~时间函数，对此函数进行求倒，得到连续时间的流量函数。对于问题二，运用问题一得出的结果，分别对第1、2时段和第1、2供水时段流量进行积分，然后求和，得出的结果即是

2、一天的总用水量。对于问题三,根据水泵的功率（单位时间泵如的水量）等于供水时段的用水量加上水位上升值除以时段长度，可以很容易的得出水泵的功率。关键词：水塔流量拟合模拟数值积分一、问题的提出   某居民区的民用自来水是由圆柱形水塔提供,水塔高12.2米,直径17.4米.水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水,一般每天水泵工作两次.现在需要了解居民区用水规律与水泵的工作功率.按照设计,当水塔的水位降至最低水位,约8.2米,水泵自动启动加水;当水位升高到一个最高水位,约10.8米,水泵停止工作.    可以考虑采用用水率(单位时间的用水量)来反映用水规律,并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估

3、算用水率,表1是某一天的测量记录数据,测量了28个时刻,但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水,而无水位记录(表1中用//表示).   试建立合适的数学模型,推算任意时刻的用水率,一天的总用水量和水泵工作功率.   表1原始数据(单位:时刻(小时),水塔中水位(米))时刻t00.9211.8432.9493.8714.9785.900水位9.6779.4799.3089.1258.9828.8148.686时刻t7.0067.9288.9679.981110.92510.95412.032水位8.5258.3888.220////10.82010.500时刻t12.95413.8

4、7514.98215.90316.82617.93119.037水位10.2109.9369.6539.4099.1808.9218.662时刻t19.95920.83922.01522.95823.88024.98625.908水位8.4338.220//10.82010.59710.35410.180二、模型的基本假设1、流量只取决于水位差，与水位本身无关，由于从小孔流出的流体的流速正比于水面高度的平房根，由题目给出的水塔的最低和最高水位分别为8.2m和10.8m（设出口的水位为0），所以可以忽略水位对流速的影响。因为2、水泵第一次供水时段为到，第二次供水时段为到，这是根据最低和最

5、高水位分别是8.2m和10.8m，及表一的水位测量记录做出的假设，其中前3个时刻直接取自实测数据（精确到0.1h），最后一个时刻来自每次供水约两个小时的已知条件（从记录看，大约在20.84h之后开始供水，大约在22.9h之前结束供水）。3、假设水泵工作时单位时间的供水量是常数，此常数大于单位时间的平均流量。4、假设流量是关于时间的连续函数。5、假设流量与水泵是否工作无关。6、由于水塔截面积是常数，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值，将最后的乘以S即可。即：水位是时间的连续函数水位对时间的变化率（流量）任何时刻的流量：三：符号说明：测量时刻：水塔截面积：

6、水位测量记录：第1时段的用水量：第2时段的用水量：第1供水时段用水量：第2供水时段用水量：一天总用水量：第1时段水位下降高度：第2时段水位下降高度：第1供水时段水位下降高度：第2供水时段和第3时段水位下降高度四：问题的分析与准备1、拟合水位~时间函数从表1测量记录看，一天有两个供水时段（简称第1供水时段和第2供水时段），和三个水泵不工作时间段（以下简称第1时间段t=0到t=8.967，第2时间段t=10.954到t=20.839和第3时段t=23以后）。对第1，2时段的测量数据直接分别作多项式拟合，得到水位函数。为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不宜太高，一般在3~6.由于第三时段只有三

7、个测量记录，无法对这一时段的水位做出较好的拟合。1、确定流量~时间函数对于第1、2时段只要将水位函数求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的第二供水时段流量外推，将第3时段流量包含在第2供水时段内，需要拟合四个流量函数。2、一天总用水量的估计总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和，他们都可以由流量对时间的积分得到：五：模型的建立与求解1、拟合第1、2时段的水位，并导出