2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.4函数的应用一学案新人教A版必修第一.docx

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1、3．4　函数的应用(一)1．能利用已知函数模型求解实际问题．2．能自建确定性函数模型解决实际问题．几类常见的函数模型1．一次函数y＝kx＋b中k的取值是如何影响其图象和性质的？[答案]　当k>0时直线必经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时直线必经过第二、四象限，y随x的增大而减小2．二次函数的图象和性质由哪些因素决定？14[答案]　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质由开口方向、对称轴及顶点位置决定．a决定抛物线的开口方向，直线x＝－决定对称轴的位置，决定顶点的纵坐标．另外其单调性由开

2、口方向及对称轴决定3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝kx＋8(k≠0)在R上是增函数．(　　)(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大值是.(　　)(3)分段函数中每一段的模型可以是一次函数或二次函数．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√题型一用一、二次函数模型解决实际问题【典例1】　某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：销售单价x(元)30404550日销售量y(件)6030150(

3、1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．[思路导引]　(1)在平面直角坐标系中描出点，选择合适的模型，从而用待定系数法求解；(2)日销售利润P＝每件利润×销量．[解]　(1)在平面直角坐标系中画出各点，如图．这些点近似地分布在一条直线上，猜想y与x之间的关系为一次函数关系，14设f(x)＝kx＋b(k≠0，且k

4、，b为常数)，则解得∴f(x)＝－3x＋150，经检验，点(45,15)，点(50,0)也在此直线上．∴y与x之间的函数解析式为y＝－3x＋150(30≤x≤50)．(2)由题意，得P＝(x－30)(－3x＋150)＝－3x2＋240x－4500＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50)．∴当x＝40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，日销售利润最大．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最

5、值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．[针对训练]1.有l米长的钢材，要做成如右图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．[解]　设小矩形的长为x，宽为y，窗户的面积为S，则由图可得9x＋πx＋6y＝l，所以6y＝l－(9＋π)x，所以S＝x2＋4xy＝x2＋x[l－(9＋π)x]＝－x2＋lx＝－2＋.要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S最大．由6y>0，得0

6、4所以当x＝，y＝＝，即＝时，窗户的面积S有最大值，且Smax＝.题型二用幂函数模型解决实际问题【典例2】　在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3cm的管道中的流量为400cm3/s，求该气体通过半径为rcm的管道时，其流量R的表达式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量(精度为1cm3/s)．[解]　(1)由题意得R＝kr4(k是大于0的常数)．(2)由r＝3cm，R＝400

7、cm3/s，得k·34＝400，∴k＝，∴流量R的表达式为R＝·r4.(3)∵R＝·r4，∴当r＝5cm时，R＝×54≈3086(cm3/s)．利用幂函数模型解决实际问题的一般步骤(1)设出函数关系式．(2)利用待定系数法求出函数关系式．(3)根据题意，利用得出的函数关系式解决问题．[针对训练]2．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(

8、1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？[解]　(1)设两类产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2(x≥0)，结合已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，14所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．(2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元，依题意得获得收益为y＝f(